「初等幾何学/定理と証明/ユークリッドの「原論」」の版間の差分
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== 「原本」の意義 ==
古代において数学は、農業が始まった頃から、道具として使われてきた。当時の人々は経験的にいくつかの定理を発見していたが、論理的な説明はされておらず、反例が挙がらないことで正しいとしていた。その後、論理的な「証明」が始まり、紀元前3世紀頃の古代ギリシャでは、既に多数の定理が証明されていたと
== 公理とは ==
法則の正しさを示すのに数学では証明という手段を用いる。'''証明'''とは、既に正しいとされている事柄を並べ、決められた関係で結びつけることで、命題が真であることを示すことであるから、正しい命題の証明には、少なくとも1つ以上の根拠が必要となる。その根拠も、その証明には他の根拠が必要なので、あらかじめ1つ以上の命題を「正しい」と決めつけておかないと、法則の正しさを示せない。
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だから、数学では、いくつかの命題を「正しい」と決めている。これらの命題を'''公理'''といい、公理の集合を'''公理系'''という。
公理は、論理を組み立てるのにどうしても必要だから用意したのであって、闇雲に増やしてしまうと、論理性に欠けてしまう。したがって、公理は
公理系の決め方は一つではない。上の例でいえば、前者を公理としてもいいし、後者を公理としてもいい。両方を導けるような法則を公理としてもいい。しかし、皆が納得できるような論理を組み立てるために、公理は誰もが「正しい」と認めるものであるべきである。かくして、公理は「当たり前」なものがほとんどである。
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