「有限群論序論」の版間の差分
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このようにして定めると、確かにこの集合は群になる（確かめよ）。これを''G''と''H''の'''半直積'''といい、<math>G \rtimes H</math>と書く。特に<math>\sigma</math>を、任意の''h''に対して<math>\sigma(h)</math>は恒等写像、と定めると、この作用に関する半直積は直積と一致する。すなわち半直積は直積をより一般化した概念であり、これを考えることにより、直積だけを考えるよりもより多くの構造を考える余地ができる、といえる。
'''例''' ''G''を位数''n''の巡回群、''H''を位数2の巡回群（生成元を''i''とする）とし、<math>\sigma:H \to \operatorname{Aut} G</math>を<math>\sigma(i)(x)=x^{-1} \ (x \in G)</math>で定めるとき、半直積<math>G \rtimes H</math>を'''正2面体群'''という。これは正''n''角形の回転と裏返しによって自分自身に写す写し方全体からなる群になっている。
== 可解群と冪零群 ==
群''G''の元<math>x,y \in G</math>に対し、
:<math>[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1} \in G</math>
を''x''と''y''の'''交換子'''という。
''G''の部分群''H'',''K''に対し、部分群<math>[H,K]</math>を
:<math> [H,K]:=\langle [x,y]|x \in H,y \in K \rangle</math>
と定める。これを''H''と''K''の'''交換子群'''という。
この交換子群を用いて、部分群の列<math>D_i(G)</math>が次のように帰納的に定義される。
#<math>D_0(G)=G</math>
#<math>D_{i+1}(G)=[D_i(G),D_i(G)]</math>
このように定めた<math>D_i(G)</math>について、ある''k''が存在して<math>D_k(G)=\{e\}</math>となるとき、''G''は'''可解群'''であるという。
また、次のようにして部分群の列<math>R_i(G)</math>が定まる。
#<math>R_0(G)=G</math>
#<math>R_{i+1}(G)=[R_i(G),G]</math>
このように定めた<math>R_i(G)</math>について、ある''k''が存在して<math>R_k(G)=\{e\}</math>となるとき、''G''は'''冪零群'''であるという。
=== 例 ===
定義より明らかに、<math>D_i(G) \subset R_i(G)</math>であることがわかる。すなわち<math>R_k(G)=\{e\} \Rightarrow D_k(G)=\{e\}</math>なので、冪零群は可解群である。
また、<math>H \subset G</math>が部分群のとき、<math>D_i(H) \subset D_i(G),R_i(H) \subset R_i(G)</math>なのも明らかである。つまり、冪零群の部分群は冪零群、可解群の部分群は可解群である。
アーベル群の交換子は必ず単位元になるので、アーベル群は可解群でも冪零群でもある。
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