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を用いて、これらの微分を求められないでしょうか？
少し手間がかかりますが、 sin ''x'' に関しては、次のような証明もできます。
<table WIDTH="7560%"><tr><td style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top>
<br><br><math> f(x) = \ cossin{x}</math> ▼
<br><br><math> f'(x) = \lim_{h \to 0}{\sin(x+h)-\sin{x} \over h}</math>
<br><br><math> f'(x) = \lim_{h \to 0}{\sin(x+h)-\sin{x} \over h}</math>
<br><br><math> = \lim_{h \to 0}{2\sin{cos(x}\cos{+h}+ \cos{x}/2)\sin{(h}/2) - \sin{x}\over h}</math>
<br><br><math> = \lim_{h \to 0}{ \sin{cos(x}(\cos{+h}-1/2)+ \cos{x}\sin{(h}/2) \over (h/2)}</math>
<br><br><math> = \lim_{h \to 0}{\sin{x}(\cos{h}-1)\over h}+{\cos{x}\sin{h}\over h}</math>
<br><br><math> = \lim_{h \to 0}{\sin{x}(\cos{h}-1)\over h}+\lim_{h \to 0}{\cos{x}\sin{h}\over h}</math>
<br><br><math> = 0 + \lim_{h \to 0}{\cos{x}\sin{h}\over h}</math>
▲<br><br><math> = \cos{x}</math>
</td></tr></table>
因みに、
:<math>\lim_{h \to 0}{\sin{(h}/2)\over (h/2)} = 1 </math>
は、[[解析学基礎/極限#極限を求めるための道具|極限]]を参照してください。
:<math>\lim_{h \to 0}{(\cos{h}-1)\over h} = 0 </math>
は
:<math>{(\cos h -1)\over h} = { (\cos^2 h -1) \over h(\cos h +1)} = - {\sin^2 h \over h(\cos h +1)} = -{\sin h \over h} \cdot {\sin h \over (\cos h +1)}</math>
で、 ''h'' → 0 とすることにより得られます。
===演習===
<math>\cos x</math> や <math>\tan x</math> の微分を 同じように求めてみてください。
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