「微分幾何学」の版間の差分
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== 可微分多様体 ==
=== 可微分多様体の定義 ===
多様体とは、これから我々が相手にしようとする幾何学の対象のことである。これまでは、主に
さて、そうは言ったものの、どのように考えたらよいだろうか。まず、幾何の対象にするのだから、少なくとも位相空間、さらに言えば第二可算公理を満たす
'''公理''' 第二可算公理を満たす
# Mの開集合の族<math>\{ U_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}</math>が存在して、<math>M=\bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda</math>
# 各<math>U_\lambda</math>に対し、連続写像<math>\varphi_\lambda : U_\lambda \to \mathbb{R}^n</math>が存在して、<math>\varphi_\lambda : U_\lambda \to \varphi(U_\lambda)</math>は同相写像。
# <math>U_\alpha \cap U_\beta \ne \phi</math>のとき、<math>\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1} : \varphi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \varphi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)</math>は<math>C^\infty</math>級写像である。
簡単に言えば、局所的に
2つの多様体を考えて、その間の写像を考えたとき、その間の「微分」の概念を考えることも自然である。多様体M,Nと写像<math>f:M \to N</math>を考え、<math>x \in M</math>の周りの局所座標を<math>\varphi</math>、多様体<math>f(x) \in N</math>の周りの局所座標を<math>\psi</math>とする。このとき、写像<math>\psi \circ f \circ \varphi^{-1}</math>（もちろん
これによって多様体の間の写像が「微分可能」であるという概念を手に入れることができた。続けて微分の概念を定義してしまいたいところだが、そのためには少し準備が必要である。それは次節に譲ることにして、まずは簡単な多様体の例をいくつか挙げておく。
=== 簡単な例 ===
'''例''' <math>S^n=\{ (x_1,...,x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} | x_1^2+...+x_{n+1}^2=1 \}</math>はn次元可微分多様体である。
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'''問''' <math>S^2</math>の局所座標系を構成せよ。
もちろん、
'''例''' <math>\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{ 0 \}</math>の同値関係～を、<math>x \sim y \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \ s.t. \ y=\lambda x</math>で定める。この同値関係で割った商集合<math>(\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{ 0 \})/ \sim</math>をn次元射影空間といい、<math>\mathbb{R}P^n</math>と書く。これはn次元可微分多様体である。
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== 接空間 ==
ユークリッド空間の曲線や曲面には、接線や接平面というものが存在した。一般の可微分多様体に対しても同様の概念を考えることができるが、まずは
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<math>S^1= \{(x,y)| x^2 +y^2 = 1\}</math>を考えよう。この曲線の任意の点について、その点における接線というものを考えることができる。例えば、点<math>(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})</math>における接線は、<math>x+y-\sqrt{2}=0</math>と書ける。当たり前のことであるが、この直線の方程式はベクトル方程式の形で書くこともできることにも注意しておく。すなわち、この線上の点の座標(x,y)は実数sを用いて<math>(x,y)=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})+s(1,-1)</math>とも書ける。
さて、この直線の傾き-1というのはどのようにして求めたのだっただろうか？もちろん、以下のような計算である。y>0なので、<math>y=\sqrt{1-x^2}</math>と書くことができ、これをxについて両辺微分すると<math>y'=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}</math>を得る。これに<math>x=1/\sqrt{2}</math>を代入すると、y'=-1を得る。
S<sup>1</sup>の場合はこのようにして簡単に接線を得ることができたが、少し簡単すぎて、これをどのように一般化すればよいのかは分かりにくい。引き続き、今度はS<sup>2</sup>の接平面を考えてみよう。もちろん
<math>p=(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}) \in S^2= \{(x,y,z)| x^2 +y^2 + z^2 = 1\}</math>における接平面を考える。無論f(x,y,z)=0という形で書くこともできるが、ここではその形で表すことは考えず、ベクトル方程式の形で表してみよう。先ほどと同様に計算してみる。
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'''定義''' Mを可微分多様体とし、<math>p \in M</math>の周りの局所座標を<math>\varphi</math>とする。pを通る<math>C^\infty</math>曲線（すなわち<math>C^\infty</math>写像<math>[0,1] \to M,t \mapsto c(t)</math>）の全体を<math>\mathcal{C}_p</math>とする。<math>\mathcal{C}_p</math>の同値関係～を<math>c_1 \sim c_2 \Leftrightarrow \frac{d(\phi \circ c_1)}{dt}(p)=\frac{d(\phi \circ c_2)}{dt}(p)</math>で定める。このとき、<math>\mathcal{C}_p/\sim</math>をMのpにおける接空間といい、T<sub>p</sub>Mと書く。T<sub>p</sub>Mの元のことをpにおけるMの接ベクトルという。
少し複雑な定義に見えるかもしれないが、
つまりはベクトルを集めたものである、ということから考えれば自明なことであるが、この空間はn次元線型空間の構造を持つ。具体的には、<math>c \mapsto \frac{d(\phi \circ c)}{dt}(p)</math>という
[[en:Differential Geometry]]
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