特殊相対論 ローレンツ収縮

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ローレンツ収縮

ある観測者に取って 時刻0で、x=0に左端があり、 x=lに右端がある 棒を考える。 このときx方向に速度vで移動している 観測者に取って (0,0)はそのままであるけれども (0,l)は、 $\gamma {\begin{pmatrix}1&-\beta \\-\beta &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\l\end{pmatrix}}$ $=\gamma {\begin{pmatrix}-\beta l\\l\end{pmatrix}}$ が得られ、右端と左端は 異なった時間にあるように見えることが分る。

右端は速度vで動いている観測者から見て 速度vで動いているように見えることから 右端の動いている観測者に対する運動は ($x-x_{0}=v(t-t_{0})$ に適切な値を代入すると、) $x-\gamma l=v(t-{\frac {1}{c}}\gamma \beta l)$ と書かれる。 t = 0 とおくと、 $x=\gamma l-{\frac {1}{c}}\gamma \beta vl$, $x=\gamma l(1-\beta ^{2})$, $x=l{\sqrt {1-\beta ^{2}}}$ が得られ、 $x<l$ つまり、棒が縮んでいるように見えることが分かる。 このことをローレンツ収縮と呼ぶ。