「解析学基礎/常微分方程式」の版間の差分
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→高階定数係数線型常微分方程式: typo |
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方程式が1本のときの例から類推すれば、この連立方程式の解は
:<math>e^{xA}</math>
のようなものが定義できれば、それを用いて表せそうである。しかし、行列の指数関数をどうやって定義すればよいだろうか？そのために、そもそも実数上の関数としての指数関数がどのように定義されるかを考えてみると、次のようにして
:<math>e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}</math>
行列であっても、この式に代入することは可能そうである。すなわち、次のように定義する。
599 行
==== 対角化不可能な行列の場合 ====
係数行列が対角化不可能なときは上記のようにはいかず、一般には
''n''次正方行列''A''の''n''個の固有値がすべて<math>\lambda</math>のとき、この行列の固有多項式は<math>(t-\lambda)^n</math>なので、
:<math>(A-\lambda I)^n=O</math>
である。このことを用いると、
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