「場の量子論」の版間の差分

場の理論という方法が知られているのである。例えば、電磁気力をつたえる光子は

光子は<math>A _A_\mu</math>という4元ベクトルで書かれるのだが、光子自体も粒子であるので

量子力学の基本法則では[[ハミルトニアン]]の中で運動量<math>p</math>で、

p^2 - m ^2 = 0

(-\partial ^2 - m ^2) \phi = 0

が得られる。この式をクラインゴルドン方程式と呼ぶ。この式をと解くと、

\phi = e ^ {i p x }, e ^ {-i p \vec x }

が得られる。ここで、<math>p</math>と<math>x</math>はどちらも4元ベクトルであり2つの積は4次元ミンコフスキー、

2つの積は4次元ミンコフスキー計量を用いた内積である。この量を波動関数として

この量を波動関数として用いることは可能であるが、ここでは異なった仕方で量子化を行なう。

粒子が何もない状態を真空と呼ぶ。次に粒子を1つだけ作る演算子<math>a^\dagger</math>を取る。

<\langle 0| a _ia_i \phi | 0> \rangle = \psi _ipsi_i

を満たすことなを要求する。ただしここで、昇降演算子に<math>a_i</math>は

[\phi a= _i , a _j\sum_i \{a_i^\dagger ]\psi_i =+ \deltaa_i _{ij\psi_i^*\}

の交換関係があるものとすなる。ただし、昇降演算子には<math>[a_i, a_j^\deltadagger] _= \delta_{ij}</math>はijが連続量ではデルタ関数となり、

一般には異なった値を持つためラグランジアン自体も空間の各点で異なった値を持つ。

値を持つ。このようなラグランジアンを通常のラグランジアンと区別する意味で

また、ラグランジアン密度を用いることから運動方程式を導出する手法も変化する。

\intfrac{dL}{dq} dt- L\frac{d}{dt}(q,\frac{dL}{d \dot q}) = 0

\int d^4 x \mathcal L (\phi , \partial ^ \mu \phi)

\frac {d \mathcal dLL}{d\phi } - \frac { d}{dx^\mu} ( \frac {d dL\mathcal L}{d (\partial \phi / \partial x^\mu ) } ) = 0

となる。この方程式を用いてクラインゴルドン方程式を得るようなラグランジアン密度として、

\mathcal L = \frac 1 2 \partial ^\mu \phi \partial _ partial_\mu \phi - \frac 1 2 m^2 \phi ^2

(-\partial ^2 - m ^2) \phi = 0

\mathcal L = \frac 1 2 \partial ^\mu \phi \partial _ partial_\mu \phi - \frac 1 2 m^2 \phi ^2

- \frac 1 6 \lambda \phi ^3

(\partial ^2 - m ^2) \phi - \frac 1 2 \lambda \phi ^2 = 0

が得られる。しかし、この式は<math>\phi</math>に関する非線形方程式であり、簡単に解くことは

簡単に解くことはできない。このため、ラグランジアンに含まれる

<math>|1 _i>1_i\rangle</math>を粒子1が<math>i</math>の状態にある状態とし、
<math>|2 _j>2_j\rangle</math>を粒子2が<math>j</math>の状態にある状態とすると、

<\langle i| \phi (x) \phi(x) |j>\rangle

<\langle 0| \phi (x) \phi(x') |0>\rangle

更にこの量をフーリエ変換して運動量表示にすることができるが、このときこの量は

摂動を受けるハミルトニアンを<math>\mathcal H</math>とし、
摂動のハミルトニアンを<math>\mathcal V</math>とする。

更に、全ハミルトニアンを<math>\mathcal H'</math>とする。
このとき、演算子<math>O</math>に対して<math>O(t)</math>を

O(t) = e^{iHti \mathcal H t} O e^{-iHti \mathcal H t}

で定義し、何らかの状態$<math>|\gamma\rangle</math>$に対して

|\gamma(t)>\rangle = \sum a _ma_m(t) |m(t)>\rangle

で状態を展開する。ただし、<math>|m>\rangle</math>はハミルトニアン<math>\mathcal H</math>の固有状態とする。

:通常、系の時間発展は全ハミルトニアンの固有状態の時間発展だけで

:記述される。しかし、摂動を受ける場合には全ハミルトニアンの固有状態を

:知ることができないため、摂動を受ける前の状態を用いてその固有状態の

:組み合わせが時間的に変化するとすることが有効になる。詳しくは[[量子力学II]]参照。

i \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} |\gamma(t) >\rangle = \mathcal H' |\gamma(t)>\rangle

\sum _msum_m \dot a _m a_m(t) |m(t) >\rangle + aa_m _m\mathcal H |m(t) >\rangle

= (\mathcal H + V\mathcal V)|\gamma(t)> \rangle

\sum _msum_m \dot a _m a_m(t) |m(t) >\rangle

= \mathcal V \sum _m a _msum_m a_m(t) |m(t) >\rangle

で与えられる。更に、<math>m(t)>\rangle</math>とは別の
<math>\mathcal H</math>の固有状態<math>|n(t)>\rangle</math>との内積を取ると、

\dot a _n a_n(t) = \sumsum_m \mathcal _m V _V_{nm}(t) a _ma_m(t)

ここで、<math>a</math>に関する表式は<math>a</math>をベクトルと見た場合

\frac{\partial{{}}}{\partial{t}} a(t) = \mathcal V(t) a(t)

a = e^{\int _int_{t _0t_0} ^t dt \mathcal V(t) } a _0a_0

で書くことが出来る。
しかし、ここでは<math>\mathcal V</math>は通常<math>\phi</math>などの演算子で書かれる量だが、

<math>\phi</math>については摂動を受ける前のハミルトニアンに関するハイゼンベルグ表示を用いたいので、

\mathcal V(t) = e^{iHti \mathcal H t} V e^{-iHti \mathcal H t}

ついて内積を取るとき、<math>|m(t)></math>\rangle,<math>|n(t)>\rangle</math>ではなく<math>|m></math>,<math>|n></math>について

<math>|m\rangle,|n\rangle</math>について内積を取ることに対応する。
このとき時間発展の方程式は

\frac{\partial{{}}}{\partial{t}} a(t) = \mathcal V(t) a(t)

a(t) = e^{\int _int_{t _0t_0} ^t dt \mathcal V(t) } a _0a_0

= T e^{\int _int_{t _0t_0} ^t dt \mathcal V(t) } a _0a_0

で書かれる。ここで最後の表式<math>T</math>は時間順序積演算子と呼ばれ、

<math>\mathcal V(t)</math>に関して、時間が前の演算子ほど右側に来るように配置することを示している。

一般にこのような計算で<math>\mathcal V(t)</math>に含まれる<math>\phi(t)</math>などの量は、時刻が等しいときには

時刻が等しいときには可換ではないが、時刻が等しくないときには常に可換であるので、このような

このような並べ換えは常に可能である。この並べ換えは例えば経路積分による導出を

例として<math>\mathcal V(t)</math>を

\mathcal V(t) = \int d^ 3 x \lambda \phi ^3 (t)

|i(t)>\rangle = TeT e^{-i\int dt \mathcal V(t)} |i>\rangle

|i(t)>\rangle= (1 - i \lambda\int d^4 x \phi^3(x)

+ \frac 1 2 (-i) \lambda \int d^4 x \int d^4 x _2x_2 \phi(x)^3 \phi(x _2x_2) ^3

...) |i>\rangle

|i(t)>= (1 -i \lambda\int d^4 x \phi^3(x)) |i>\rangle

\int d^4 x = \int d^3 x \int_{t_0}^t

で与えられているものとする。ここで<math>t _0t_0</math>は粒子が他の粒子と相互作用する

距離に近づいた時刻のことをいい、<math>t</math>は、測定を行なう時刻である。

実際的な素粒子の実験では常に<math>t _0t_0 = -\infty</math>,<math>t = \infty</math>として扱う。

ここで測定を始めたときに1つの<math>\phi _1phi_1</math>粒子だった状態が

<math>\phi _2</math>phi_2,<math>\phi _3phi_3</math>の2つの粒子に崩壊する過程を

ここで最初の状態は運動量<math>k _1k_1^\mu</math>を持ち、最後の状態は<math>k _2k_2^\mu</math>,<math>k _3k_3^\mu</math>

<\langle 0| a _a_{k2k_2}a _a_{k3k_3} \int d^4 x (-i \lambda \phiphi_1 _1\phiphi_2 _2\phi _3phi_3) a^\dagger _dagger_{k1k_1} |0>\rangle

\phiphi_1 _1aa^\dagger _dagger_{k1k_1}, a _a_{k2k_2} \phi _2phi_2

<\langle 0|\phiphi_1 _1aa^\dagger _dagger_{k1k_1}|0> \rangle = e^{-iki _1k_1 x}

<\langle 0| a _a_{k2k_2} \phi _2 phi_2|0>\rangle = e ^{i ik _2k_2 x }

<\langle 0| a _a_{k2k_2}a _a_{k3k_3} \int d^4 x (-i \lambda \phiphi_1 _1\phiphi_2 _2\phi _3phi_3) a^\dagger _dagger_{k1k_1} |0>\rangle

= -i \lambda \int d^4 x e ^{ i (k _2k_2 + k _3k_3 - k _1 k_1) x}

= -i \lambda \delta(kk_2 _2+k _3k_3 - k _1k_1)

落とすことができる。そのため、このときの計算値は、単に<math>-i \lambda</math>

\vec k _2k_2 = -\vec k _3k_3, k _2 k_2^0 + k^0 _30_3 = m _1m_1