「有限群論序論」の版間の差分

さて、ようやく、'''群'''の話題にうつろう。群とは、モノイドに、さらにもう一つ、'''逆元'''というものを導入した代数構造である。

今、代数構造(''G'',·)があり、''G''には、単位元''e'' ∈ ''G''が定義されているとする。

となるような、''x''^−1 ∈ ''G''のことである。

逆元は、常にあるとは限らない。逆元が存在する元と存在しない元がともに混在している代数構造も考えられる。

自然数の集合を'''N'''、足し算を+とする。自然数の集合に単位元0を加えた代数構造 ('''N''' ∪ {0} , +) について、考える。

となるような、''x''は、負の数になってしまうため、''x'' ∉ '''N''' ∪ {0}であり、 0 以外のすべての元について逆元は存在しない。

さて、群とは、任意の元について、逆元の定義された、モノイドだった。すなわち、まとめると、次の1から3を満たす代数構造(''G'',·)を群と呼ぶ。

これだけから、いくつかの基本的な定理を見出すことができる。

単位元は、が存在すれば、それは代数構造(''G'',·)の中に、ただ一つ存在する。

群(''G'',·)について考える。単位元を''e''とする。

群''x''∈''G''の逆元が、二つあってたと仮定し、それらを''a'',''b''∈ ''G''であり、''a'' ≠ と''b''とするおく。すなわち、

が成り立つ。このとき、''G''は群だから、結合則が成り立つことに注意すると、

である。これは、''x''の逆元が''x''^−1であることを示しているが、同時に、''x''^−1の逆元が、''x''であることを示しているとも、取ることができる。

(''x''^−1)^−1を考えると、(''x''^−1)^−1は、''x''^−1の逆元であるから、

が成り立つ。先ほど示したように、逆元の一意性より、''x''^−1の逆元は、存在すればただ一つである。(''x''^−1)^−1も''x''も、''x''^−1の逆元であるということは、