「線型代数学/行列概論」の版間の差分

数mと数nはそれぞれ自然数とする、つまり<math>m,n \in \N</math> とする。mn個の'''K'''の元 <math>a_{i,j}\in\bold K(i=1,2,\cdots,m,~j=1,2,\cdots,n)</math>を、丸括弧で囲んだ中に次のように縦にm個、横にn個、表のように並べて書いたものを、m行n列の'''行列'''(matrix)と言う。(m&times;n)-行列とも言う。

成分が全て体'''K'''の元であるような(m&times;n)-行列全体の集合を ''M'' (m,n;'''K''')で表す。特に成分が全て体'''K'''の元であるn次行列全体の集合を ''M'' (n;'''K''')で表す。

成分が全て0の行列を'''零行列'''（zero matrix）といい、Oと書く。特に(m&times;n)-行列であることを明示する場合には、O{{sub|m,n}}と書き、n次行列であることを明示する場合にはO{{sub|n}}と書く。

体K上のm行n列行列<math>A</math>，行列<math>B</math>が、つまり<math>A,B \in M(m,n;\bold K)</math>について、行列の和 A+B を次のように定義する。

また、体K上のm行n列行列<math>A</math>で，つまり行列<math>A \in M(m,n;\bold K)</math>と定数<math>\lambda \in \bold K</math>について、行列の定数倍 <math>\lambda A</math> を次のように定義する。

m行n列の行列A,行列B,行列C、つまり<math>A, B, C \in M(m,n;\bold K)</math>で 、また<math>\lambda, \mu \in \bold K</math>のとき、

m行n列の2つの行列AとB、つまり<math>A \in M(m,n;\bold K), B \in M(n,l;\bold K)</math>について、行列の積ABを次のように定義する。

<math>A=(a_{i,j}) \in M(n;\bold K)</math> に対して、<math>a_{k,k} \in \bold K, ~k=1,\cdots,n</math>を、n次正方行列Aの'''対角成分'''（diagonal element）という。

対角成分がすべて1で、その他の成分がすべて0であるようなn次正方行列を'''単位行列'''（elementary　matrix、あるいはidentity matrix）といい、E_nやI_nと表す。nが明らかである場合にはしばしば省略して、EやIと表すこともある。

をAの'''転置行列'''（transposed matrix）と言い、<math>^tA</math>と表す。

を、Aの'''複素共役行列'''（complex conjugate matrix）といい、<math>\overline{A}</math> で表す。

:このδ_i,jを、クロネッカーのデルタ（Kronecker delta）と言う、またはクロネッカーの記号と言う。この時、次のことを示せ。

正方行列(a_i,j)において、a_i,iを対角成分と言う。また、対角成分意外が全て0である正方行列のことを''対角行列''（diagonal matrix）と言う。対角行列が正則であるための、必要十分条件は、対角成分が全て0でないということである。4章で示される。対角行列の中でも更にスカラー行列と呼ばれるものがある。それはcE(c≠0)の事である。勿論Eはc=1の時のスカラー行列で、対角行列である。また、スカラー行列cEを任意行列Aに掛けると、CAとでる。対角行列が定義されたので、固有和が定義できる。

定義(3.2.6)固有和または跡（trace）