「有限群論序論」の版間の差分
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''a'' · (''b'' · ''c'') = (''a'' · ''b'') · c
結合則が成り立つ代数構造のことを、'''半群'''（semi group）という。
'''半群'''とは[[集合]] ''S'' と[[二項演算]] "•" の組 (''S'', •) であって、二項演算 • が以下の条件
; 演算が[[閉包|閉じている]]: ''S'' の各元 ''a'', ''b'' に対して、演算結果 ''a'' • ''b'' は再び ''S'' に属する。
; [[結合法則|結合律]]: ''S'' の各元 ''a'', ''b'', ''c'' に対して、等式 (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'') が満たされる。
がともに成立するものを言う。
結合則は、成り立つ場合もあるし、成り立たない場合ももちろんある。やはり、例を考えてみよう。
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∃ ''e'' ∈ ''G''があって、∀ ''x'' ∈ ''G''について、
''e'' · ''x'' = ''x'' · ''e'' = ''x''
となるとき、''e''を'''単位元'''（identity element）という。
結合則が成り立ち、単位元が存在する代数構造(''G'',·)を、モノイド（monoid）という。
例えば、足し算の単位元は、0である。掛け算の単位元は、1である。
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∀ ''a'',''b'' ∈ ''G'' に対して''a'' · ''b''=''b'' · a
が成り立つ群を特に'''可換群'''（commutative group）または'''アーベル群'''（abelian group）という。
===群に関する基本的な定理===
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一方、次のような群の例もある。集合''X''上の全単射<math>f:X \to X</math>をすべて集めた集合をSym(''X'')とする。Sym(''X'')は写像の合成を演算として群になる。単位元は恒等写像、逆元は逆写像である。これは一般にアーベル群にはならない。
特に<math>X=\{1,2,3,\cdots,n\}</math>のとき、Sym(''X'')を<math>\mathfrak{S}_n</math>と書き、これを''n''次の'''対称群'''（symmetric group）という。
対称群の元のうち、<math>i_l(1 \le l \le m-1)</math>を<math>i_{l+1}</math>に、<math>i_m</math>を<math>i_1</math>に写し、他の元は動かさない写像を、<math>(i_1 \ i_2 \ i_3 \ \cdots \ i_m)</math>と表記する。このような元を'''巡回置換'''（permutation）と呼ぶ。対称群の元はいくつかの巡回置換の積として表される。特に<math>m=2</math>の巡回置換を'''互換'''（transposition）と呼ぶ。巡回置換はいくつかの互換の積として表されるので、結局対称群の元はいくつかの互換の積として表される。群の言葉を使わずに言えば、すべての並び替えはあみだくじを使って実現することができる。
== 部分群 ==
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は''G''の部分群になる。これを''S''が生成する部分群という。特に<math>\langle S \rangle = G</math>のとき''S''を''G''の'''生成系'''といい、''S''の元を''G''の'''生成元'''という。
ただ一つの元からなる生成系を持つ群を'''巡回群'''（cyclic group）という。巡回群は明らかにアーベル群である。
'''例''' 互換の全体は対称群の生成系である。
===正規部分群===
群''G''の部分群''H''がさらに下の条件を満たすとき、''H''は正規部分群（normal subgroup）であるといい、<math>G \vartriangleright H</math>と書く。
''g'' ∈ ''G'' , ''h'' ∈ ''H'' ⇒ ''g'' · ''h'' · ''g''<sup>-1</sup> ∈ ''H''
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明らかにアーベル群の部分群は必ず正規部分群であるが、アーベル群でない群の部分群は、一般に正規部分群になるとは限らない。そのほかに、次のような例がある。
'''例''' 上でみたように、''n''次対称群の任意の元はいくつかの互換の積として表せる。その表し方は一意ではないが、積として表すときに用いる互換の個数が偶数か奇数かは表し方によらず元のみによってきまることが知られており、偶数個で表せる元を'''偶置換'''（even permutation）と呼び、奇数個で表せる元を'''奇置換'''（odd permutation）と呼ぶ。偶置換の全体は明らかに正規部分群となる。これを''n''次'''交代群'''（alternating group）といい、<math>A_n</math>と書く。
===正規部分群による商群===
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:<math>(g_1,h_1) \cdot (g_2,h_2):=(g_1 g_2,h_1 h_2)</math>
このように定めると確かにこの集合は群になる（確かめよ）。これを''G''と''H''の'''直積'''（direct product）といい、<math>G \times H</math>で表す。
=== 半直積 ===
378 ⟶ 382行目:
群''G''の元<math>x,y \in G</math>に対し、
:<math>[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1} \in G</math>
を''x''と''y''の'''交換子'''（commutator）という。
''G''の部分群''H'',''K''に対し、部分群<math>[H,K]</math>を
:<math> [H,K]:=\langle [x,y]|x \in H,y \in K \rangle</math>
と定める。これを''H''と''K''の'''交換子群'''（commutator group）という。
この交換子群を用いて、部分群の列<math>D_i(G)</math>が次のように帰納的に定義される。
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