「高等学校数学III/極限」の版間の差分

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三角関数については、次が成り立つことが基本的である。
 
:<math>\lim_{x\theta\to 0}\frac{\sin x\theta}{x\theta}=1</math>
 
;証明
まず
:<math>\lim_{\theta\to +0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
を示す。
 
半径1、中心角''θ''の扇形を考える。後に''θ''→+0とするので0<''θ''<π/2としてよい。
 
扇形OABの面積は、θ/2となる。
 
また、三角形OABを考えると、その面積は
:<math>\frac{\sin \theta}{2}</math>
となる。
 
さらに、点Aを通る辺OAの垂線と、半直線OBとの交点をB'とすると、三角形OAB'の面積は、
:<math>\frac{\tan \theta}{2}</math>
となる。
 
ここで、図から明らかに、面積について以下の不等式が成り立つ。
 
[三角形OAB]<[扇形OAB]<[三角形OAB']
 
即ち
:<math>0< \frac{\sin \theta}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{\tan \theta}{2}</math>
 
:0<sin''θ''<''θ''<tan''θ''
 
逆数をとって各辺にsin''θ''を掛けると、
 
:<math>\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1</math>
 
いま、
:<math>\lim_{\theta\to +0}\cos \theta=1</math>
 
より、はさみうちの原理から、
 
:<math>\lim_{\theta\to +0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
が示された。
 
また、''θ''<0のときは、
:<math>\frac{\sin \theta}{\theta}=\frac{-\sin \theta}{-\theta}=\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}</math>
 
を考えると、いま-''θ''>0であり、かつ''θ''→0のとき-''θ''→0であるから、上の結果を使うことができて、これにより、
 
:<math>\lim_{\theta\to -0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
 
も示された。
 
以上より、
 
:<math>\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
が成り立つ。■
 
==== 指数・対数関数と極限 ====