「高等学校数学III/極限」の版間の差分

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→‎三角関数と極限: θを斜体から立体に
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==== 三角関数と極限 ====
三角関数については、次が成り立つことが基本的である。
 
:<math>\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
 
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即ち
:<math>0< \frac{\sin \theta}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{\tan \theta}{2}</math>
 
:0<sinθ<θ<tanθ
 
逆数をとって各辺にsinθを掛けると、
 
:<math>\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1</math>
 
いま、
:<math>\lim_{\theta\to +0}\cos \theta=1</math>
 
より、はさみうちの原理から、
 
:<math>\lim_{\theta\to +0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
が示された。
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また、θ<0のときは、
:<math>\frac{\sin \theta}{\theta}=\frac{-\sin \theta}{-\theta}=\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}</math>
を考えると、いま-θ>0であり、かつθ→0θ→-0のとき-θ→0θ→+0であるから、上の結果を使うことができて、これにより、
 
:<math>\lim_{\theta\to -0}\frac{\sin \theta}{\theta}=\lim_{-\theta\to +0}\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}=1</math>
を考えると、いま-θ>0であり、かつθ→0のとき-θ→0であるから、上の結果を使うことができて、これにより、
となる。以上より、
 
:<math>\lim_{\theta\to -0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
 
も示された。
 
以上より、
 
:<math>\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
が成り立つ。■