「高等学校数学III/極限」の版間の差分
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394 行
==== 三角関数と極限 ====
三角関数については、次が成り立つことが基本的である。
:<math>\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
420 ⟶ 419行目:
即ち
:<math>0< \frac{\sin \theta}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{\tan \theta}{2}</math>
:0<sinθ<θ<tanθ
逆数をとって各辺にsinθを掛けると、
:<math>\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1</math>
いま、
:<math>\lim_{\theta\to +0}\cos \theta=1</math>
より、はさみうちの原理から、
:<math>\lim_{\theta\to +0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
が示された。
437 ⟶ 430行目:
また、θ<0のときは、
:<math>\frac{\sin \theta}{\theta}=\frac{-\sin \theta}{-\theta}=\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}</math>
:<math>\lim_{\theta\to -0}\frac{\sin \theta}{\theta}=\lim_{-\theta\to +0}\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}=1</math>▼
▲を考えると、いま-θ>0であり、かつθ→0のとき-θ→0であるから、上の結果を使うことができて、これにより、
となる。以上より、▼
▲:<math>\lim_{\theta\to -0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
▲以上より、
:<math>\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1</math>
が成り立つ。■
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