「大学受験数学 三角関数/公式集」の版間の差分
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Masaya yamakami (トーク | 投稿記録) |
コタンジェントなどは大学入試では用いられていないことを明記。ついでに文中の分数式のいくつかが、前後の式と近くて見づらくなっってたので空行を入れて調整した。 |
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== 三角関数の定義 ==
xy平面上に半径1の円を考える。この円を単位円（たんいえん）という。単位円は方程式<math>x^2+y^2=1</math>が表す図形である。
x軸の正の部分を反時計回りに角度θだけ回転させた半直線が単位円と交わる点の座標を(x,y)とするとき、次で定まる値を角度θの三角関数（さんかくかんすう）という。
:<math>\sin \theta=y</math>
:<math>\cos \theta=x</math>
:<math>\tan \theta=\frac{y}{x}</math>
それぞれsinを正弦関数（せいげんかんすう、sine サイン）、cosを余弦関数（よげんかんすう、cosine コサイン）、tanを正接関数（せいせつかんすう、tangent タンジェント）という。
:<math>\cot \theta = \frac{1}{\tan\theta},\sec \theta = \frac{1}{\cos\theta}, \csc \theta = \frac{1}{\sin\theta}</math>▼
を以下に記す公式と組み合わせることで各種公式を導くことができるが、ここでは省略する。▼
次に紹介するコタンジェントやセカントなどは、高校数学や大学受験では用いないのが通常だが、つぎのコタンジェントなどの関数も三角関数である。
:<math>\cot \theta=\frac{x}{y}</math>
:<math>\sec \theta=\frac{1}{x}</math>
:<math>\csc \theta=\frac{1}{y}</math>
これらは余接関数（cotangent コタンジェント）、正割関数（secant セカント）、余割関数（cosecant コセカント）の頭文字をとったものである。このうち頻繁に使われるのは、<math>\sin \theta\cos \theta,\tan \theta</math>の3種類であり、高校数学でもsin、cos、tanの３つが標準的に使われる。以下ではサイン・コサイン・タンジェントとセカント・コセカント・コタンジェントの間には、定義から明らかに次の成関係式が成り立つ。
▲:<math>\cot \theta = \frac{1}{\tan
:<math>\sec \theta = \frac{1}{\cos\theta}</math>
:<math>\csc \theta = \frac{1}{\sin\theta}</math>
== 有名な三角関数の値 ==
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=== 加法定理の使用例 ===
<math>\sin 15^\circ=\sin (45^\circ-30^\circ)=\sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math><br>
<math>\cos 15^\circ=\cos (45^\circ-30^\circ)=\cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math><br>
<math>\sin 75^\circ=\sin (45^\circ+30^\circ)=\sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math><br>
<math>\cos 75^\circ=\cos (45^\circ+30^\circ)=\cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math><br>
63 ⟶ 83行目:
== 半角公式 ==
<math>\sin^2 \alpha=\frac{1}{2}(1 - \cos 2\alpha)</math><br>
<math>\cos^2 \alpha=\frac{1}{2}(1 + \cos 2\alpha)</math><br>
94 ⟶ 115行目:
<math>\sin \alpha\ \sin \beta=-\frac{1}{2} \{\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta)\}</math><br>
☆<math>\sin \alpha\ \cos \beta=\frac{1}{2} \{\sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta)\}</math><br>
☆<math>\cos \alpha\ \sin \beta=\frac{1}{2} \{\sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta)\}</math><br>
<math>\cos\alpha\ \cos\beta=\frac{1}{2} \{\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta)\}</math><br>
123 ⟶ 147行目:
== 三分の一倍角の公式 ==
<math>\sin^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\sin \alpha - \sin 3\alpha)</math><br>
<math>\cos^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\cos \alpha + \cos 3\alpha)</math><br>
128 ⟶ 153行目:
<math>\sin 3\alpha=-4\sin^3 \alpha + 3\sin \alpha</math><br>
<math>\sin 3\alpha - 3\sin \alpha=-4\sin^3 \alpha</math><br>
<math>\sin^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\sin \alpha - \sin 3\alpha)</math><br>
<math>\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha</math><br>
<math>\cos 3\alpha + 3\cos \alpha=4\cos^3 \alpha</math><br>
<math>\cos^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\cos \alpha + \cos 3\alpha)</math><br>
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