「高等学校数学I/2次関数」の版間の差分

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'''<math>a\neq 0</math>でなければならない'''というルールに違反する為、二次関数ではない。
 
=== 一般形と標準形 ===
== 二次関数のグラフ ==
 
本節では二次関数の一般形と標準形について学び、この知識を用いて二次関数をグラフで表記する方法を学ぶ。
 
本節では二次関数の一般形と標準形について学び、ぶ。この知識を用いては後で二次関数をグラフで表る方法を学ぶ際に役立つ
=== 一般形と標準形 ===
 
<math>a\neq 0</math>とするとき、
の形の表記を二次関数の'''標準形'''という。
(上で、<math>a\neq 0</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>p</math>、<math>q</math>は定数で、<math>x</math>は変数であるものとする。)
 
後述するように、標準形は二次関数をグラフで表す場合に役立つ。
 
{| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0
 
一般形で表記されている二次関数を標準形で表記する事を'''平方完成'''という。
後述するように、標準形は二次関数をグラフで表す場合役立つ用いる
 
=====証明=====
となり標準形で表されたことになる。
 
;====例題====
=== 二次関数のグラフ ===
 
;例題
:次の二次関数が一般形ならば標準形に、標準形ならば一般形にせよ。
:#<math>y=2(x+4)^2+4</math>
:#<math>y=4x^2+12x+9</math>
:#<math>y=x^2+5x</math>
;解
:#<math>y=2x^2+16x+36</math>
:#<math>y=4\left(x+\frac{3}{2}\right)^2</math>
:#<math>y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}</math>
 
 
== 二次関数のグラフ ==
 
本節では二次関数 <math>y=ax^2+bx+c</math> のグラフの求め方を述べる。
 
=== <math>y=ax^2</math>のグラフ ===
 
二次関数 まずもっとも簡単な<math>y=ax^2+bx+c</math> のグラフは <math>a>0</math> のとき図1 のようになるここでは<math>ya=x^21</math>のグラフ場合示す表記)。また、<math>a<0</math> のときは図1 のグラフを上下さかさまにしたものになる。
 
:[[Image:Qfunction.png|thumb|250px|図1 (y=x<sup>2</sup>のグラフ)]]
二次関数 <math>y=ax^2+bx+c</math> のグラフは <math>a>0</math> のとき図1 のようになる(ここでは、<math>y=x^2</math>のグラフを示す)。また、<math>a<0</math> のときは図1 のグラフを上下さかさまにしたものになる。
 
後述するように一般の<math>y=ax^2+bx+c</math> のグラフは<math>y=ax^2</math>のグラフを上下左右にずらしたものになる。
<math>a>0</math> のとき二次関数 <math>y</math> は'''下に凸'''といい、<math>a<0</math> のとき'''上に凸'''という。また、二次関数のグラフを'''放物線'''という。
 
=== 一般の二次関数のグラフ ===
二次関数のグラフを考えてみよう。 前述のように二次関数は平方完成の手順を踏む事により必ず標準形で表記可能なので、二次関数<math>y=ax^2+bx+c</math>を標準形
 
一般の二次関数グラフを考えで表現してみよう。 前述のように二次関数は平方完成の手順を踏む事により必ず標準形で表記可能なので、二次関数<math>y=ax^2+bx+c</math>を標準形
:<math>
y=a(x-p)^2+q
</math>
 
この標準形のグラフは<math>y=ax^2</math> のグラフを <math>x</math> 軸方向に <math>p</math>, <math>y</math> 軸方向に <math>q</math> 平行移動させたものと考えることができる。ゆえに二次関数 <math>y=ax^2+bx+c</math> よって以下グラフは軸事実<math>x=-\frac{b}{2a}</math> , 頂点が <math>\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)</math> であるような放物線であ結論付けられる。
 
{| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0
|style="background:pink"|'''二次関数のグラフ'''
|-
|style="padding:5px"|
;定理
:二次関数 <math>y=ax^2+bx+c</math> のグラフは軸が<math>x=-\frac{b}{2a}</math> , 頂点が <math>\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)</math> であるような放物線である。
|}
 
====例題====
 
;例題
:次の二次関数が一般形ならば標準形に、標準形ならば一般形にせよ。
:#<math>y=2(x+4)^2+4</math>
:#<math>y=4x^2+12x+9</math>
:#<math>y=x^2+5x</math>
;解
:#<math>y=2x^2+16x+36</math>
:#<math>y=4\left(x+\frac{3}{2}\right)^2</math>
:#<math>y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}</math>
;例題
:二次関数 <math>y=\frac{1}{2}x^2+3x+\frac{1}{2}</math> のグラフをかけ。
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