「高等学校物理/物理II/電気と磁気」の版間の差分
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運動する磁束は電場を誘起する、運動する電場は磁界を作る |
発展としてポインティングベクトルについて |
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=== 運動する電場は磁界を作る ===
もし、「運動する電場は磁界を作る」とすれば、アンペールの法則 「直線状に無限に長い導線を流れる 電流Ｉ は距離Ｒ だけ離れた場所に Ｂ・２πｒ＝μＩ の磁場を作る。」という現象は、じつは「導線の中で荷電粒子が運動することによって、荷電粒子といっしょにその粒子が作る電場も動き、その電場の運動が、磁場を誘起している。」という可能性がある。
電流
:Ｄ＝εＥ＝ｑ／2πｒ
:εＥ・2πｒ＝ｑ ①
となる。▼
:Ｉ ＝ ｑVe
▲電流Ｉは、電荷分布ｑが速度ｖで運動しているとして
:[Ａ]＝[ｃ／ｍ]・[ｍ／ｓ]＝[ｃ／ｍ]
電流
:Ｂ・
このとき、磁場の向きは、
:②÷①から
向き
:Ｂ＝εμVe×Ｅ となる。
あるいは、 μH＝B をもちいて B＝μH＝εμVe×Ｅ より
:H＝εμVe×Ｅ となって、さらに D＝εＥ より
:H＝μVe×D
である。
つまり
:速度Ve で運動する電場E は誘導磁場 Ｂ＝εμVe×Ｅ を作る。
まとめ
速度Ｖｂで運動する磁束Bは
:Ｅ＝－Ｖｂ×Ｂ
の誘導電場を誘起する。 ・・□1
速度Ve で運動する電場E は
:Ｂ＝εμ Ve ×Ｅ
の誘導磁場を作る。
または
:D＝－εＶｂ×Ｂ
または
:H＝Ve×D （・・・□2）
電磁波では光速Cで電場と磁場が伝わるので、 Ｖｂ＝ Ve ＝C とする。□1式と□2式の外積をとると、
: E×H ＝ （－Ｖｂ×Ｂ）×（Ve×D） ＝ （－C×μH） ×（C×εE）
:＝ εμ（C^２）E×H
よって
:εμ・ｃ＾２＝１
である。
これは実験による光速の測定値 ｃ＝ 1／ √（εμ） と高い精度で一致する。
これより、運動電場の誘導する磁場は
:Ｂ＝（１／ｃ＾２）Vｅ×Ｅ ③
とも変形できる。
③式を、ガウスの法則（①式） と組み合わせると、アンペールの法則（②式）が得られる。
よって、「速度Ve で運動する電場E は Ｂ＝εμ Vｅ ×Ｅ の誘導磁場を作る。」という過程が妥当だったことがわかる。
=== ポインティング ベクトル ===
電磁波では電場Ｅと磁場Ｂが光速Ｃで運動しているので 磁束の運動速度Ｖbは Ｖb＝C であり、誘導電場Eは E＝－Ｖb×Ｂ であるので、両式より Ｅ＝ －ｃ×Ｂ である。（電磁波の電場と磁場の関係式）なお Ｂ＝μＨであるので、電磁波は Ｅ×Ｈ の方向に進んでいるはずだ、ということを注目しよう。この E×H を '''ポインティング ベクトル''' とよぶ。
これは単位面積をとおって流れ出る電磁場のエネルギーの流れをあらわす。
電磁場のエネルギ－密度は ｕ＝（１／２）ε・Ｅ＾２ ＋ （１／２）μ・H＾２ なので、これに電磁波の電場と磁場の関係式 Ｅ＝－ｃ×Ｂ を代入して 、後述のεμ・ｃ＾２＝１ の関係を用いると、（エネルギーでは、2乗により、マイナス符号がなくなるので、絶対値を取って｜Ｅ｜＝｜ｃ×Ｂ｜ としておくと、計算が簡単になる場合がある。）
結果として
:ｕ＝ ε・Ｅ＾２ （電磁波のエネルギー密度）
▲となる。
電磁波が、壁にあたって吸収されるとき、単位時間に単位面積あたり 光速ｃ の大きさの体積のなかの電磁波が壁に衝突するので、
:ｃ・ｕ
のエネルギーが、単位時間に単位面積に流れ込むはずである。
:ｓ＝ｃ・ｕ にｕ＝ ε・Ｅ＾２を代入してεμ・ｃ＾２＝１と｜Ｅ｜＝｜ｃ×Ｂ｜を利用すると、結果的に ｓ＝ ｜Ｅ｜・｜Ｈ｜ よってポインティング ベクトル E×H
は単位面積をとおって流れ出る電磁場のエネルギーの流れをあらわす。
:E×Hの単位は [Ｖ／ｍ]・[Ａ／ｍ]＝[Ｖ・Ａ／ｍ＾２]＝[Ｗ／ｍ＾２]
=== ポインティング ベクトル と 運動量密度 ===
ポインティング ベクトル Ｓ＝E×H ＝ εμ（C^２）E×H は
:Ｄ＝εEとＢ＝μH をもちいてＳ＝ E×H ＝（C^２）Ｄ×Ｂ ともかける。
:Ｄ×Ｂ＝｛１／（C^２）｝E×H である。天下り的な説明だが、Ｇ＝Ｄ×Ｂは運動量密度である。実際、単位は
:[Ｄ×Ｂ] ＝ [｛１／（C^２）｝] [E×H] ＝ [1／（ｍ／ｓ）＾２] [Ｗ／ｍ＾２]
:＝ [Ｎ・ｓ／ｍ＾３]
確かに運動量密度の単位と等しい。ところで光電効果では ｕ＝ｃｐ だった。
:ｓ＝ｃ・ｕはｓ＝ｃｕ＝｜Ｅ×Ｈ｜でｕ＝ｃｐとあわせて、
:ｓ＝ｃ（ｃｐ）＝（ｃ＾２）ｐ＝｜Ｅ×Ｈ｜
これより
:ｐ ＝ （１／ｃ＾２）｜Ｅ×Ｈ｜ ＝ εμ｜Ｅ×Ｈ｜
:＝ ｜εＥ×μＨ｜ ＝ ｜Ｄ×Ｂ｜
向きまで含めて
:ｐ ＝ Ｄ×Ｂ
となって、確かに Ｇ＝ Ｄ×Ｂ は運動量密度となる。
=== 電磁誘導の再検討 ===
長さＬのまっすぐな針金が、速度ｖで磁場Ｂの中を横切るとする。簡単のため、針金の軸と速度ｖの方向と磁場Ｂは垂直とする。このとき、針金の中の電荷にかかる力および電場はローレンツ力により、
:F＝ｑｖ×B
:F／ｑ＝E＝ｖ×Ｂ の電位が針金の長さ方向に派生する。
電場Ｅにそって長さＬだけ、電荷ｑが上げられたら、エネルギーはｑＥＬ変化する。電位はＶ＝ＥＬである。
:Ｖ＝ＬｖＢ＝⊿Φ／⊿ｔ
これより、誘導電圧Vは、磁束の1秒あたりの時間変化になる。
では、仮に固定された回路の中にソレノイドを通して、このソレノイドに交流電流を流した場合も、回路に誘導電圧が発生するのだろうか。答えは「する」。
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