「初等数学公式集」の版間の差分

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以下に、日本の数学教育において大学入学程度の水準までで用いられる、主な公式をジャンルごとに分けて記しておく。
{{蔵書一覧}}
 
== 初等代数 ==
=== 展開公式 ===
''解説は[[/展開公式|こちらのページ]]をご覧ください''
 
*基本公式
**<math>(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.</math>
**<math>(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab.</math>
**<math>(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd.</math>
*累乗
**<math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.</math>
**<math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.</math>
**<math>(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.</math>
**<math>(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.</math>
**<math>(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4</math>
**<math>(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4</math>
**<math>(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5</math>
**<math>(a+b)^8 = a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + b^8</math>
**<math>(a-b)^8 = a^8 - 8a^7b + 28a^6b^2 - 56a^5b^3 + 70a^4b^4 - 56a^3b^5 + 28a^2b^6 - 8ab^7 + b^8</math>
**<math>(a+b)^n = \sum_{r = 0}^n{}_n{\rm C}_{r} a^{n-r} b^r</math>
*応用
**<math>(a+b)(a-b) = a^2 - b^2.</math>
**<math>(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3.</math>
**<math>(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3.</math>
**<math>(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca.</math>
**<math>(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3ab^2 + 3ac^2 + 3ba^2 + 3ca^2 + 6abc + 3bc^2 + 3cb^2</math>
**<math>(a+b+c)^4 = a^4 + b^4 + c^4 + 4ab^3 + 4ac^3 + 4ba^3 + 4ca^3 + 4bc^3 + 4cb^3 + 6a^2b^2 + 6a^2c^2 + 6b^2c^2 + 12a^2bc + 12ab^2c + 12abc^2</math>
**<math>(a+b+c)^n</math>の展開式の一般項(多項定理):
***:<math> \frac{n!}{p! q! r!} a^p b^q c^r.</math> (ただし、''n''=''p'' + ''q'' + ''r'')
**<math>(a+b+c+d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd</math>
**<math>(a+b+c+d)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + 3ab^2 + 3ac^2 + 3ad^2 + 3ba^2+ 3ca^2 + 3da^2 + 6abc + 6abd + 6acd + 3ac^2 + 3cb^2 + 3db^2 + 6bcd + 3cd^2+3dc^2</math>
**<math>(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = {1\over 2}(a+b+c)((a - b)^2 + (b - c)^2 +(c - a)^2)= a^3 + b^3 + c^3 -3abc.
</math>
**<math>
(x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab + bc + ca)x +abc.
</math>
**<math>(ab+c)(bc+a)(ca+b) = (cab)^2 + cab^3 + bca^3 + (ab)^2 + abc^3 + (bc)^2 + (ac)^2 + abc</math>
**<math>(a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + b^{n-1}) = a^n - b^n.
</math>
**<math>\sum_{r = 0}^n{}_n{\rm C}_{r} = 2^n</math>
 
=== 絶対不等式 ===
* 正の実数からのみ成る数列 <math>\{a_n\}</math> に対し、
*:<math>\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.
</math>
:等号成立は ''a''<sub>1</sub> = ''a''<sub>2</sub> = &hellip; = ''a''<sub>''n''</sub> のときのみ。(相加平均と相乗平均の関係式)
 
* 複素数から成る数列 <math>\{a_n\}</math> に対し、
*:<math>|a_1+a_2+\cdots+a_n| \leq |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|.</math>
: 等号成立はすべての数の偏角が等しいときのみ。(三角不等式)
 
* 二つの数列 <math>\{a_n\}</math>, <math>\{b_n\}</math> に対し、
*:<math>|a_1\bar{b_1}+a_2\bar{b_2}+\cdots+a_n\bar{b_n}|^2 \leq
(a_1\bar{a_1} + a_2\bar{a_2} +\cdots+ a_n\bar{a_n})(b_1\bar{b_1} + b_2\bar{b_2} +\cdots+ b_n\bar{b_n}).
</math>
: 等号成立は、複素数 ''z'' で ''b''<sub>1</sub> = ''za''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub> = ''za''<sub>2</sub>, ..., ''b''<sub>''n''</sub> = ''za''<sub>''n''</sub> が全て成り立つようなものが存在するときに限る。(コーシー・シュワルツの不等式)
 
=== 方程式 ===
*1次方程式 <math>ax + b =0</math> の解の公式:
*:<math>x = - \frac{b}{a}.</math>
*2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の解の公式:
*:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.</math>
** <math>ax^2 + 2bx + c =0</math> の場合には、:
**:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - ac}}{a}.</math>
*2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math>の2つの解をα, βとすると、:
:<math>ax^2 + bx + c = a(x-\alpha)(x-\beta)</math>
であり、このα、βは次の関係式を満たす。(解と係数の関係)
:<math>\alpha + \beta =-\frac{b}{a}</math>
:<math>\alpha\beta =\frac{c}{a}.</math>
 
=== 数の性質 ===
==== 整数 ====
* 自然数''N''が相異なる素数<math>a_1,a_2,a_3,\cdots,a_k</math>を用いて<math>N=a_1^{p_1} \cdot a_2^{p_2} \cdot a_3^{p_3} \cdots a_k^{p_k}</math>と素因数分解されるとき、
:''N''の約数の個数は<math>(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)\cdots(p_k+1).</math>
:また、その約数の総和は<math>(1+a_1+ \cdots +a_1^{p_1})(1+a_2+ \cdots +a_2^{p_2}) \cdots (1+a_k+ \cdots +a_k^{p_k}).</math>
* 自然数''Q'',''N''に対し、1以上''Q''以下の''N''の倍数の個数。:
*:<math>[Q \div N].</math> ただし、<math>[x]</math>はガウス記号。
**自然数''P'',''Q'',''N''に対し、''P''以上''Q''以下の''N''の倍数の個数
**:<math>[Q \div N]-[(P-1) \div N].</math> ただし、<math>[x]</math>はガウス記号。
*自然数''a'',''b''について、それらの最大公約数を''g''、最小公倍数を''l''とすると、以下の関係が成り立つ。:
*:<math>ab = lg.</math>
* 奇数の和:
*:<math>1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.</math>
*''a''、''b''を互いに素な整数とするとき、1次不定方程式<math>ax + by = 0</math>を満たす整数解:
*:<math>x = bk , y = -ak</math>(''k''は整数)
 
==== 分数 ====
* <math>\frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b}\right).(a\not=b)</math>
* <math>\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.</math>
==== 複素数 ====
*<math>\displaystyle i^2=-1.</math>
*<math>\displaystyle e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta.</math>(オイラーの式)
*<math>\displaystyle e^{\pi i} = -1.</math>
* 複素数のべき乗:(ド・モアブルの定理)
*:<math>\left\{r(\cos \theta + i \sin \theta)\right\}^n = r^n \left\{\cos ( n \theta) + i \sin (n \theta)\right\}</math>
 
=== 行列 ===
''E''を2次単位行列、''O''を2×2の零行列とすると、任意の2次正方行列 <math>A =
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix}
</math> について
*<math>A^2 - (a + d)A + (ad - bc)E = \mathbf{O}.</math>(ケイリー・ハミルトンの定理)
 
== 初等関数の性質 ==