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以下に、日本の数学教育において大学入学程度の水準までで用いられる、主な公式をジャンルごとに分けて記しておく。
{{蔵書一覧}}
 
== 初等幾何 ==
=== 三平方の定理 ===
*直角三角形の直角をはさむ2辺の長さを''a''、''b''、斜辺の長さを''c''とすると、以下の関係が成り立つ。:
**<math>a^2 + b^2 = c^2.</math>
*三角形の三辺の長さ''a,b,c''が<math>a^2 + b^2 = c^2</math>を満たすとき、この三角形は長さ''c''の辺を斜辺とする直角三角形となる。
 
=== 正弦定理 ===
<math>\bigtriangleup{ABC}</math> において、<math>BC = a, CA = b, AB = c</math>, 外接円の半径を <math>R</math> とすると、
*<math>\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} =2R</math>
 
=== 余弦定理 ===
<math>\bigtriangleup{ABC}</math> において、<math>BC = a, CA = b, AB = c, \alpha = \angle{CAB}, \beta = \angle{ABC}, \gamma = \angle{BCA}</math> とすると
 
==== 第一余弦定理 ====
*<math>a = b \cos\gamma + c \cos\beta</math>
*<math>b = c \cos\alpha + a \cos\gamma</math>
*<math>c = a \cos\beta + b \cos\alpha</math>
 
==== 第二余弦定理 ====
*<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha</math>
*<math>b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos\beta</math>
*<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma</math>
 
=== 多角形 ===
*''n''角形の内角の和:
*:<math>180(n-2)^\circ.</math>
*''n''角形の対角線の本数:
*:<math>\frac{n(n-3)}{2}.</math>
 
=== 円 ===
*半径''r''の円の円周''l'':
**:<math>l = 2r \pi .</math>
*半径''r''、中心角a(度)の扇形の弧の長さ''l'':
**:<math>l = 2r \pi \cdot \frac{a}{360}.</math>
*半径''r''の円の中心点''O''と弦''AB''との距離をaとしたときの弦''AB''の長さ:
*:<math>AB = 2\sqrt{r^2 - a^2}.</math>
 
{|
|[[image:houbeki 001.svg|thumb|200px|方べきの定理・図1]]
|[[image:houbeki 003.svg|thumb|200px|方べきの定理・図2]]
|[[image:houbeki 005.svg|thumb|200px|方べきの定理・図3]]
|}
*方べきの定理:
**点Pを通る2本の直線が円とそれぞれ2点A、Bと2点C、Dで交わっているとき(図1、図2):
**:<math>PA \cdot PB = PC \cdot PD.</math>
**円外の点Pを通る2本の直線の一方が点Tで円に接し、他方が2点A、Bで交わっているとき(図3):
**:<math>PA \cdot PB = PT^2.</math>
 
=== 立体図形 ===
* 縦の長さ''a''、横の長さ''b''、高さ''h'' の直方体の対角線 ''l'':
*:<math>l = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}.</math>
* 底面の半径を''r''、母線の長さ ''l''の円錐の高さ ''h'':
*:<math>h = \sqrt{l^2 - r^2}.</math>
*凸面体の頂点の数を''v''、辺の数を''e''、面の数を''f''とすると以下の関係が成り立つ(オイラーの多面体定理):
*:<math>v - e + f = 2.</math>
 
=== 図形と方程式 ===
*中心座標<math>\displaystyle (a, b)</math>、半径''r''の円の方程式(標準形):
*:<math>\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2.</math>
*円の方程式の一般形
*:<math>\displaystyle x^2+y^2+hx+ky+c = 0.</math> ただし、<math>h^2+k^2-4c > 0</math>。
*円<math>\displaystyle x^2+y^2 = r^2</math>上の点P<math>\displaystyle (x_1, y_1)</math>における接線:
*:<math>\displaystyle x_1x+y_1y = r^2.</math>
 
*2点A<math>(a_1, b_1)</math>, B<math>(a_2, b_2)</math>間の距離:
*:<math>AB = \sqrt{(a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2}.</math>
*点''P'' <math>(p, q)</math>と直線<math>ax + by + c = 0</math>の距離:
*:<math> \frac{\left|ap + bq + c\right\vert}{\sqrt{a^2 + b^2}} .</math>
 
*原点''O''・点<math>A(x_a,y_a)</math>・点<math>B(x_b,y_b)</math>を結んでできる三角形OABの面積''S'':
*:<math>S = \frac{1}{2} \left|y_0\right| \left| x_a - x_b \right|=\frac{1}{2} \left|x_0\right| \left| y_a - y_b \right|.</math>
*:ただし<math>x_0,y_0</math>はそれぞれ直線''AB''の''x''切片・''y''切片。
 
=== 面積と体積 ===
==== 平面図形の面積 ====
''解説は[[/平面図形|こちらのページ]]をご覧ください''
 
*三角形
** 底辺のながさ ''a''、高さ ''h'' の三角形の面積 ''S'':
**:<math>S = {1\over 2}ah.</math>
**二辺のながさが ''a'', ''b'' でその間の角が ''&theta;'' である三角形の面積 ''S'':
**:<math>S = \frac{1}{2}ab\sin \theta.</math>
**ある辺のながさが ''a'' でその両端の角が ''&theta;'', ''&delta;'' である三角形の面積 ''S'':
**:<math>S = \frac{a^2\sin \theta\sin \delta}{2\sin (\theta+\delta)}</math>
** 三辺のながさが ''a'', ''b'', ''c'' で内接する円の半径が ''r'' である三角形の面積 ''S'':
**:<math>S = \frac{1}{2}r(a+b+c).</math>
** 三辺のながさが ''a'', ''b'', ''c'' である三角形の面積 ''S'':(ヘロンの公式)
**:<math>S = \sqrt{ \frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{16}}</math>
** 一辺のながさ ''a'' の正三角形の面積 ''S'':
**:<math>S = {\sqrt{3}\over 4}a^2.</math>
 
*四角形
** 縦のながさ ''a''、横のながさ ''b'' の長方形の面積 ''S'':
**:<math>\displaystyle S = ab.</math>
** 一辺のながさ ''a'' の正方形の面積 ''S'':
**:<math>\displaystyle S = a^2.</math>
** 底辺のながさ ''a''、高さ ''h'' の平行四辺形の面積 ''S'':
**:<math>\displaystyle S = ah.</math>
** 上底のながさ ''a''、下底のながさ ''b''、高さ ''h'' の台形の面積 ''S'':
**:<math>S = {1\over 2}(a+b)h.</math>
** 対角線のながさ ''a''、もう一つの対角線のながさ ''b'' のひし形の面積 ''S'':
**:<math>S = {1\over 2}ab.</math>
** 四辺の長さが''a,b,c,d''で円に内接する四角形の面積''S'':(ブラーマグプタの公式)
**:<math>S=\sqrt{\frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)}{16}}</math>
 
*正多角形
** 一辺のながさ ''a'' の正''n''角形の面積 ''S'':
**:<math>S = \frac{n a^2}{4 \tan{\frac{\pi}{n}} }</math>
*円と扇形
** 半径 ''r'' の円の面積 ''S'':
**:<math>S = \pi r^2.</math>
**半径 ''r'' 、中心角''a''(度)の扇形の面積''S'':
**:<math>S = \frac{a}{360} r^2 \pi.</math>
** 半径 ''r'' 、中心角 ''&theta;(rad)'' の扇形の面積 ''S'':
**:<math>S = \frac{1}{2} \theta r^2.</math>
** 半径 ''r'' 、弧の長さ''l''の扇形の面積 ''S'':
**:<math>S = \frac{1}{2} rl.</math>
 
==== 立体図形の面積 ====
''解説は[[/立体図形|こちらのページ]]をご覧ください''
 
* 縦のながさ ''a''、横のながさ ''b''、高さ ''h'' の直方体の表面積 ''S'':
*:<math>S = 2(ab + bh + ah).</math>
**底面積 ''B'':
**:<math>B = 2ab.</math>
**側面積 ''A'':
**:<math>A = 2h(a + b).</math>
*一辺のながさ ''a'' の立方体の表面積 ''S'':
*:<math>S = 6a^2.</math>
* 底面の周の長さ ''l''、高さ ''h'' の柱体の側面積 ''S'':
*:<math>S = lh.</math>
* 半径''r''の球の表面積''S'':
*:<math>S = 4 \pi r^2.</math>
 
==== 体積 ====
''解説は[[/体積|こちらのページ]]をご覧ください''
 
[[Image:A rectangular parallelepiped.JPG|right|thumb|直方体]]
 
* 縦のながさ ''a''、横のながさ ''b''、高さ ''h'' の直方体の体積 ''V'':
*:<math> V = abh.</math>
* 一辺のながさ ''a'' の立方体の体積 ''V'':
*:<math> V = a^3.</math>
* 底面積 ''S''、高さ ''h'' の柱体の体積 ''V'':
*:<math>V = Sh.</math>
* 底面積 ''S''、高さ ''h'' の錐体の体積 ''V'':
*:<math>V = {1\over 3}Sh.</math>
* 一辺のながさ ''a'' の正四面体の体積 ''V'':
*:<math>V = {\sqrt{2}\over 12}a^3.</math>
* 一辺のながさ ''a'' の正八面体の体積 ''V'':
*:<math>V = {\sqrt{2}\over 3}a^3.</math>
* 一辺のながさ ''a'' の正十二面体の体積 ''V'':
*:<math>V = {15 + 7\sqrt{5}\over 4}a^3.</math>
* 一辺のながさ ''a'' の正二十面体の体積 ''V'':
*:<math>V = {5( 3 + \sqrt{5} )\over 12}a^3.</math>
 
*球の体積 ''V'':
*:<math>V = {4\over 3}\pi r^3.</math>
 
=== ベクトル ===
以下に挙げる公式で空間ベクトルで成り立つものは、その <math>z</math> 成分を<math>0</math> とした平面ベクトルでも成り立つ。
* <math>\vec{a}</math> と <math>\vec{b}</math> の成す角が <math>\theta</math> のとき
*:<math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}. </math>
*<math>\vec{a}\ne\vec{0}</math>, <math>\vec{b}\ne\vec{0}</math>のとき、
:<math>\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0.</math>
*<math>\overrightarrow{OA}=\vec{a}</math>, <math>\overrightarrow{OB}=\vec{b}</math>, ''O'' は原点とするときの三角形 ''OAB'' の面積 <math>S</math>:
*:<math>S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}.</math>
:とくに、<math>\vec{a}=(a_x,a_y)</math>, <math>\vec{b}=(b_x,b_y)</math>とすると、
::<math>S=\frac{1}{2}|a_xb_y-a_yb_x|.</math>
 
* 二つのベクトル <math>\vec{x}</math>, <math>\vec{y}</math> に対し、
*: <math>(\vec{x}\cdot\vec{y})^2+|\vec{x}|^2\left|\vec{y}-\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{x}|^2}\vec{x}\right|^2 = |\vec{x}|^2|\vec{y}|^2.</math>
: よって、
:: <math>|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq |\vec{x}||\vec{y}|.</math>
: 等号成立は、実数 ''k'' があって <math>\vec{y} = k\vec{x}</math> とできるときのみ。
 
== 初等代数 ==
=== 展開公式 ===
''解説は[[/展開公式|こちらのページ]]をご覧ください''
 
*基本公式
**<math>(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.</math>
**<math>(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab.</math>
**<math>(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd.</math>
*累乗
**<math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.</math>
**<math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.</math>
**<math>(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.</math>
**<math>(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.</math>
**<math>(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4</math>
**<math>(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4</math>
**<math>(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5</math>
**<math>(a+b)^8 = a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + b^8</math>
**<math>(a-b)^8 = a^8 - 8a^7b + 28a^6b^2 - 56a^5b^3 + 70a^4b^4 - 56a^3b^5 + 28a^2b^6 - 8ab^7 + b^8</math>
**<math>(a+b)^n = \sum_{r = 0}^n{}_n{\rm C}_{r} a^{n-r} b^r</math>
*応用
**<math>(a+b)(a-b) = a^2 - b^2.</math>
**<math>(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3.</math>
**<math>(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3.</math>
**<math>(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca.</math>
**<math>(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3ab^2 + 3ac^2 + 3ba^2 + 3ca^2 + 6abc + 3bc^2 + 3cb^2</math>
**<math>(a+b+c)^4 = a^4 + b^4 + c^4 + 4ab^3 + 4ac^3 + 4ba^3 + 4ca^3 + 4bc^3 + 4cb^3 + 6a^2b^2 + 6a^2c^2 + 6b^2c^2 + 12a^2bc + 12ab^2c + 12abc^2</math>
**<math>(a+b+c)^n</math>の展開式の一般項(多項定理):
***:<math> \frac{n!}{p! q! r!} a^p b^q c^r.</math> (ただし、''n''=''p'' + ''q'' + ''r'')
**<math>(a+b+c+d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd</math>
**<math>(a+b+c+d)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + 3ab^2 + 3ac^2 + 3ad^2 + 3ba^2+ 3ca^2 + 3da^2 + 6abc + 6abd + 6acd + 3ac^2 + 3cb^2 + 3db^2 + 6bcd + 3cd^2+3dc^2</math>
**<math>(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = {1\over 2}(a+b+c)((a - b)^2 + (b - c)^2 +(c - a)^2)= a^3 + b^3 + c^3 -3abc.
</math>
**<math>
(x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab + bc + ca)x +abc.
</math>
**<math>(ab+c)(bc+a)(ca+b) = (cab)^2 + cab^3 + bca^3 + (ab)^2 + abc^3 + (bc)^2 + (ac)^2 + abc</math>
**<math>(a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + b^{n-1}) = a^n - b^n.
</math>
**<math>\sum_{r = 0}^n{}_n{\rm C}_{r} = 2^n</math>
 
=== 絶対不等式 ===
* 正の実数からのみ成る数列 <math>\{a_n\}</math> に対し、
*:<math>\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.
</math>
:等号成立は ''a''<sub>1</sub> = ''a''<sub>2</sub> = &hellip; = ''a''<sub>''n''</sub> のときのみ。(相加平均と相乗平均の関係式)
 
* 複素数から成る数列 <math>\{a_n\}</math> に対し、
*:<math>|a_1+a_2+\cdots+a_n| \leq |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|.</math>
: 等号成立はすべての数の偏角が等しいときのみ。(三角不等式)
 
* 二つの数列 <math>\{a_n\}</math>, <math>\{b_n\}</math> に対し、
*:<math>|a_1\bar{b_1}+a_2\bar{b_2}+\cdots+a_n\bar{b_n}|^2 \leq
(a_1\bar{a_1} + a_2\bar{a_2} +\cdots+ a_n\bar{a_n})(b_1\bar{b_1} + b_2\bar{b_2} +\cdots+ b_n\bar{b_n}).
</math>
: 等号成立は、複素数 ''z'' で ''b''<sub>1</sub> = ''za''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub> = ''za''<sub>2</sub>, ..., ''b''<sub>''n''</sub> = ''za''<sub>''n''</sub> が全て成り立つようなものが存在するときに限る。(コーシー・シュワルツの不等式)
 
=== 方程式 ===
*1次方程式 <math>ax + b =0</math> の解の公式:
*:<math>x = - \frac{b}{a}.</math>
*2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の解の公式:
*:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.</math>
** <math>ax^2 + 2bx + c =0</math> の場合には、:
**:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - ac}}{a}.</math>
*2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math>の2つの解をα, βとすると、:
:<math>ax^2 + bx + c = a(x-\alpha)(x-\beta)</math>
であり、このα、βは次の関係式を満たす。(解と係数の関係)
:<math>\alpha + \beta =-\frac{b}{a}</math>
:<math>\alpha\beta =\frac{c}{a}.</math>
 
=== 数の性質 ===
==== 整数 ====
* 自然数''N''が相異なる素数<math>a_1,a_2,a_3,\cdots,a_k</math>を用いて<math>N=a_1^{p_1} \cdot a_2^{p_2} \cdot a_3^{p_3} \cdots a_k^{p_k}</math>と素因数分解されるとき、
:''N''の約数の個数は<math>(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)\cdots(p_k+1).</math>
:また、その約数の総和は<math>(1+a_1+ \cdots +a_1^{p_1})(1+a_2+ \cdots +a_2^{p_2}) \cdots (1+a_k+ \cdots +a_k^{p_k}).</math>
* 自然数''Q'',''N''に対し、1以上''Q''以下の''N''の倍数の個数。:
*:<math>[Q \div N].</math> ただし、<math>[x]</math>はガウス記号。
**自然数''P'',''Q'',''N''に対し、''P''以上''Q''以下の''N''の倍数の個数
**:<math>[Q \div N]-[(P-1) \div N].</math> ただし、<math>[x]</math>はガウス記号。
*自然数''a'',''b''について、それらの最大公約数を''g''、最小公倍数を''l''とすると、以下の関係が成り立つ。:
*:<math>ab = lg.</math>
* 奇数の和:
*:<math>1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.</math>
*''a''、''b''を互いに素な整数とするとき、1次不定方程式<math>ax + by = 0</math>を満たす整数解:
*:<math>x = bk , y = -ak</math>(''k''は整数)
 
==== 分数 ====
* <math>\frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b}\right).(a\not=b)</math>
* <math>\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.</math>
==== 複素数 ====
*<math>\displaystyle i^2=-1.</math>
*<math>\displaystyle e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta.</math>(オイラーの式)
*<math>\displaystyle e^{\pi i} = -1.</math>
* 複素数のべき乗:(ド・モアブルの定理)
*:<math>\left\{r(\cos \theta + i \sin \theta)\right\}^n = r^n \left\{\cos ( n \theta) + i \sin (n \theta)\right\}</math>
 
=== 行列 ===
''E''を2次単位行列、''O''を2×2の零行列とすると、任意の2次正方行列 <math>A =
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix}
</math> について
*<math>A^2 - (a + d)A + (ad - bc)E = \mathbf{O}.</math>(ケイリー・ハミルトンの定理)
 
== 初等関数の性質 ==
100 ⟶ 380行目:
=== 指数関数・対数関数 ===
以下この節内では ''a'', ''b'' ,''c'' は実数とする。
==== 指数関数 ====
k9i9wi9u8huwtdhsbvm,smasijdueowuwuq62972^3-2-@peoqp894198+8199491695626+94s@0doqwwiqooowiepdkskesuperrangerdf,pweofoeyemfumpionodohudidkdhigiudk]
*<math>\displaystyle a^b\times a^c=a^{b+c}.</math>
@sma\^f
*<math>a^b\div a^c = a^{b-c}.</math>
4w
*<math>\displaystyle (a^b)^c=a^{bc}.</math>
kfiuujeiudeqeetvjfyduejjssmonnsutoisleifopiepwlwel,c;ouws9dutkldo9e-2+/2+f+3-*+f3+/fwf3*+3+3f+4f3f/3*+*31f5+398v1れ+9wb0+b4+4*bわp-bw3hg32d2+w3g:\gl----lgwplg,@pre,pemrgpbeitvmfsiopmiboimkvkw
*<math>\displaystyle (ab)^c=a^cb^c.</math>
 
==== 対数関数 ====