「古典力学/イントロダクション」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
262 行
=== 平面上の運動と加速度 ===
==== 距離および物体の位置 ====
物体の運動が平面上に限られる場合、物体の運動方向には上下と左右の 2 つの自由度が与えられます。これに対応して時刻 <math>t</math> における物体の位置 <math>\boldsymbol{x}(t)</math> はデカルト座標系の 2 つの軸上の位置 <math>x_1(t), x_2(t)</math> を用いて
:<math>\boldsymbol{x}(t) = \begin{pmatrix}x_1(t) \\ x_2(t)\end{pmatrix}</math>
と表すことができます。<math>x_1(t)</math> および <math>x_2(t)</math> をそれぞれ <math>\boldsymbol{x}</math> の成分 (component) といいます。
:<math>\boldsymbol{x}
= \begin{pmatrix} x_{\mathrm{A}_1} \\ x_{\mathrm{A}_2} \end{pmatrix}
と書くことができます。右辺は古い座標系における量で左辺が新しい座標系を表します。明らかに <math>\boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{X}</math> のとき <math>\boldsymbol{x}'(t) = \boldsymbol{0}</math> となり、古い座標系における点 <math>\boldsymbol{X}</math> が新たな座標系の原点となっていることが分かります。また、上記の関係を各成分ごとに分けて表せば以下のようになります。▼
- \begin{pmatrix} x_{\mathrm{B}_1} \\ x_{\mathrm{B}_2} \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_{\mathrm{A}_1} - x_{\mathrm{B}_1} \\ x_{\mathrm{A}_2} - x_{\mathrm{B}_2} \end{pmatrix}
</math>
となります。また物体間の[[w:距離|距離]]について、一次元の場合には位置の差の[[w:絶対値|絶対値]] <math>\left|x_\mathrm{A} - x_\mathrm{B}\right|</math> によって定められますが、二次元の場合には[[w:ピタゴラスの定理|ピタゴラスの定理]]を利用して、以下の形で与えられます。
:<math>\left|\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right|
=\sqrt{\left(x_{\mathrm{A}_1}-x_{\mathrm{B}_1}\right)^2 + \left(x_{\mathrm{A}_2}-x_{\mathrm{B}_2}\right)^2}.
</math>
距離は最も直接的には上記の形式で表されますが、ベクトルの[[w:ドット積|内積]]を
:<math>\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} = x_1y_1 + x_2y_2</math>
のように定めれば内積を用いて距離を表すことができます。
:<math>\left|\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right|
=\sqrt{\left(\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right)
\cdot \left(\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right)}
.</math>
また、ベクトルを 1 行または 1 列の[[w:行列|行列]]と見なせば、行ベクトルと列ベクトルの積
:<math>\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} = x_1y_1 + x_2y_2</math>
を用いて
:<math>\left|\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right|
=\sqrt{\left(\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right)^\mathrm{T}
\left(\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right)}
</math>
と書くこともできます。記号 <math>\mathrm{T}</math> は行列の[[w:転置行列|転置]]を表し、ここでは列ベクトルを行ベクトルにする操作を示しています。
:<math>\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{x}^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}.</math>
==== 座標系の変換 ====
平面上の物体の位置 <math>\boldsymbol{x}</math> について、座標系を平行移動させ平面上のある点 <math>\boldsymbol{X}</math> を原点としたものを新たに <math>\boldsymbol{x}'</math> と表せば<ref>ここで <math>\boldsymbol{x}'</math> のプライムは <math>\boldsymbol{x}</math> の微分を意味していません。</ref>、
:<math>\boldsymbol{x}' = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}</math>
▲と書くことができます。右辺は古い座標系における量で左辺が新しい座標系を表します。明らかに <math>\boldsymbol{x}
:<math>
\begin{pmatrix}x_1'
= \begin{pmatrix}x_1
- \begin{pmatrix}X_1
= \begin{pmatrix}x_1
</math>
座標系の平行移動に関して注目すべき点として、2 点間の相対的な位置関係は変わらないということが挙げられます。ある座標系における物体 A の位置を <math>\boldsymbol{x}_\mathrm{A}</math>、物体 B の位置を <math>\boldsymbol{x}_\mathrm{B}</math> と表し、元の座標系を <math>\boldsymbol{X}</math> だけ平行移動した座標系における物体の位置をそれぞれ <math>\boldsymbol{x}_\mathrm{A}',\,\boldsymbol{x}_\mathrm{B}'</math> と表すと、それぞれの座標系における物体 B に対する物体 A の相対的な位置は
:<math>\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}</math>
および
:<math>\boldsymbol{x}_\mathrm{A}' - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}'</math>
と書くことができますが、平行移動した座標系における物体 A, B の位置はそれぞれ <math>\boldsymbol{x}_\mathrm{A}' = \boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{X}</math> および <math>\boldsymbol{x}_\mathrm{B}' = \boldsymbol{x}_\mathrm{B} - \boldsymbol{X}</math> と表すことができるため
:<math>\begin{align}
\boldsymbol{x}_\mathrm{A}' - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}'
&= (\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{X}) - (\boldsymbol{x}_\mathrm{B} - \boldsymbol{X}) \\
&= \boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}
\end{align}</math>
と書き換えられます。
{{節stub}}
| |||