「古典力学/イントロダクション」の版間の差分
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M →座標系の変換 |
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312 行
&= \boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}
\end{align}</math>
と書き換えられます。このことから直ちに分かるように、座標系を平行移動しても物体間の距離は変化しません。
と書き換えられます。▼
平行移動以外の代表的な座標系の変換として、'''スケール変換''' (scale transformation) があります。スケール変換された座標系における物体の位置を <math>\boldsymbol{x}'</math> とし、変換前の座標系における物体の位置を <math>\boldsymbol{x}</math> とすると、スケール変換は以下のように表すことができます。
:<math>\boldsymbol{x}' = s \boldsymbol{x}</math>
ここで <math>s</math> は正の実数であり、[[w:スケール因子|スケール因子]]と呼ばれます。<math>s = 1</math> ならば変換前と変換後の座標系は完全に一致します。<math>s</math> が 1 でない場合について、原点から物体までの距離を考えるとスケール変換後の距離は、
:<math>\left|\boldsymbol{x}'\right| = \left|s \boldsymbol{x}\right| = s \left|\boldsymbol{x}\right| </math>
となり、<math>s > 1</math> の場合は <math>\left|\boldsymbol{x}'\right| > \left|\boldsymbol{x}\right| </math>、<math>s < 1</math> の場合は <math>\left|\boldsymbol{x}'\right| < \left|\boldsymbol{x}\right| </math> という関係が成り立ちます。これらの関係は物体間の距離に関しても成り立ちます。「実際の」距離はスケール変換によって変わらないとすれば、この変換は長さの基準を変えることに他ならず、<math>s > 1</math> の変換は基準の長さを小さくする変換であり、<math>s < 1</math> の変換は基準の長さを大きくする変換であると考えることができます。
平行移動とスケール変換は一次元の場合にも同様に行うことができますが、二次元の場合と一次元の場合で扱い方の異なる変換も存在します。その中でも最も基本的なものとして座標系の回転操作、特に原点を中心とする回転が挙げられます。[[w:右手系|右手系]]で座標系を反時計回りに[[w:角度|角度]] <math>\theta</math> だけ回転させる場合、物体の位置は変換後の座標系において以下のように表されます。
:<math>\boldsymbol{x}' = \textrm{R}_\theta\boldsymbol{x}
= \begin{pmatrix}
\cos\left(\theta\right) & \sin\left(\theta\right) \\
- \sin\left(\theta\right) & \cos\left(\theta\right)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\cos\left(\theta\right) x_1 + \sin\left(\theta\right) x_2 \\
- \sin\left(\theta\right) x_1 + \cos\left(\theta\right) x_2
\end{pmatrix}</math>
行列 <math>\textrm{R}_\theta</math> は[[w:回転行列|回転行列]]と呼ばれます。座標系の回転について、物体間の距離や物体と原点の間の距離は変わらず、次の関係が成り立ちます。
:<math>|\textrm{R}_\theta\boldsymbol{x}| = \left|\boldsymbol{x}\right|.</math>
成分表示をすると、
:<math>\sqrt{\left\{\left(\cos\theta\right)^2 + \left(\sin\theta\right)^2\right\}\left(x_1^2 + x_2^2\right)} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}</math>
すなわち
:<math>\left\{\left(\cos\theta\right)^2 + \left(\sin\theta\right)^2\right\} = 1</math>
という関係が得られます。また、座標系の回転について、回転角の和が等しければ回数や順序によらず同じ座標系が得られるので、次の関係が成り立ちます。
:<math>\textrm{R}_\phi\textrm{R}_\theta = \textrm{R}_\theta\textrm{R}_\phi = \textrm{R}_{\theta + \phi}.</math>
これらの行列の積をあらわに書くと、
:<math>
\begin{pmatrix}
\cos\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right) - \sin\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right) &
\cos\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right) + \sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right) \\
- \sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right) - \cos\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right) &
- \sin\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right) + \cos\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\left(\theta + \phi\right) & \sin\left(\theta + \phi\right) \\
- \sin\left(\theta + \phi\right) & \cos\left(\theta + \phi\right)
\end{pmatrix}
</math>
より
:<math>
\begin{cases}
\cos\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right) - \sin\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)
= \cos\left(\theta + \phi\right) \\
\cos\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right) + \sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)
= \sin\left(\theta + \phi\right)
\end{cases}
</math>
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