「古典力学/イントロダクション」の版間の差分
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M →座標系の変換 |
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258 行
:<math>\frac{dt(y)}{dy} = \frac{1}{n}y^{\frac{1}{n} - 1} \quad(y > 0)</math>
が得られます。<math>\frac{1}{n}</math> を <math>n</math> に置き換えれば、この関係もまた <math>\left(y^n\right)'=ny^{n-1}</math> という形になっていることが分かります。
=== 平面上の運動と加速度 ===
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\cdot \left(\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right)}
.</math>
また、ベクトルを 1 行または 1 列の[[w:行列|行列]]と見なせば<ref>横の並びを'''行''' (row)、縦の並びを'''列''' (column) と呼びます。また行が <math>m</math> 個あり、列が <math>n</math> 個あるような行列を <math>m \times n</math> 行列と呼びます。特に <math>1 \times n</math> の行列として表されるベクトルを'''行ベクトル''' (row vector)、<math>m \times 1</math> の行列として表されるベクトルを'''列ベクトル''' (column vector) と呼びます。<math>m \times n</math> 行列は <math>n</math> 成分の行ベクトルを成分として持つ <math>m</math> 成分の列ベクトル、あるいは <math>m</math> 成分の列ベクトルを成分とする <math>n</math> 成分の行ベクトルと見なすことができます。
:<math>
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \end{pmatrix} \\
\vdots \\
\begin{pmatrix} a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} &
\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix} &
\cdots &
\begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</ref>、行ベクトルと列ベクトルの積
:<math>\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} = x_1y_1 + x_2y_2</math>
を用いて<ref>一般の行列の積について、<math>m \times r</math> 行列 <math>\textrm{A}</math> の <math>ij</math> 成分を <math>\{\textrm{A}\}_{ij} = a_{ij}</math>、<math>r \times n</math> 行列 <math>\textrm{B}</math> の <math>ij</math> 成分を <math>\{\textrm{B}\}_{ij} = b_{ij}</math> として、<math>\textrm{B}</math> の左から <math>\textrm{A}</math> を掛けた積 <math>\textrm{AB}</math> の各成分は
:<math>\{\textrm{AB}\}_{ij} = \sum_{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}\quad \left(i = 1,\dots,m;\, j = 1,\dots,n\right)</math>
となります。</ref>
:<math>\left|\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right|
=\sqrt{\left(\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right)^\mathrm{T}
\left(\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right)}
</math>
と書くこともできます。記号 <math>\mathrm{T}</math> は行列の[[w:転置行列|転置]]を表し、ここでは列ベクトルを行ベクトルにする操作を示しています<ref>より一般には <math>m \times n</math> 行列 <math>\textrm{A}</math> に対して <math>\{\textrm{B}\}_{ij} = \{\textrm{A}\}_{ji}</math> を満たす <math>n \times m</math> 行列 <math>\textrm{B}</math> を行列 <math>\textrm{A}</math> の転置行列といいます。</ref>。
:<math>\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{x}^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}.</math>
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;3. 回転
平行移動とスケール変換は一次元の場合にも同様に行うことができますが、二次元の場合と一次元の場合で扱い方の異なる変換も存在します。その中でも最も基本的なものとして座標系の回転操作、特に原点を中心とする回転が挙げられます。[[w:右手系|右手系]]で座標系を反時計回りに[[w:角度|角度]] <math>\theta</math> だけ回転させる場合、物体の位置は変換後の座標系において以下のように表されます。
:<math>\boldsymbol{x}' = \textrm{R}_\theta^\mathrm{T}\boldsymbol{x}
= \begin{pmatrix}
\cos\left(\theta\right) & \sin\left(\theta\right) \\
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\end{pmatrix}</math>
行列 <math>\textrm{R}_\theta</math> は[[w:回転行列|回転行列]] (rotation matrix) と呼ばれます<ref>回転行列が転置しているのは座標系の回転操作を座標系の上の位置成分にやっつけているためです。</ref>。回転行列の各成分として与えられる回転角 <math>\theta</math> の関数 <math>\cos,\,\sin</math> をそれぞれ余弦関数 (cosine function) および正弦関数 (sine function) といい、これらは[[w:三角関数|三角関数]]と呼ばれる関数たちの一つに数えられます。
座標系の回転について、物体間の距離や物体と原点の間の距離は変わらず、次の関係が成り立ちます。
:<math>|\textrm{R}_\theta^\mathrm{T}\boldsymbol{x}| = \left|\boldsymbol{x}\right|.</math>
成分表示をすると、
:<math>\sqrt{\left\{\left(\cos\theta\right)^2 + \left(\sin\theta\right)^2\right\}\left(x_1^2 + x_2^2\right)} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}</math>
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という関係が得られます。
座標系の回転に対して距離が変化しないという性質は、距離を行ベクトルと列ベクトルの積の形に書き直せば、左辺について
:<math>|\textrm{R}_\theta^\mathrm{T}\boldsymbol{x}|
= \sqrt{(\textrm{R}_\theta^\mathrm{T}\boldsymbol{x})^\mathrm{T}\textrm{R}_\theta^\mathrm{T}\boldsymbol{x}}
= \sqrt{\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\textrm{R}_\theta
</math>
となるので、これが右辺の <math>|\boldsymbol{x}| = \sqrt{\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{x}}</math> に等しいことから回転行列 <math>\textrm{R}_\theta</math> は
:<math>\textrm{R}_\theta
という関係を満たすことが分かります。ここで <math>\textrm{I}</math> は[[w:単位行列|単位行列]] (identity matrix) であり
:<math>\textrm{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
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他にも座標系の回転について、回転角の和が等しければ回数や順序によらず同じ座標系が得られるので、次の関係が成り立ちます。
:<math>\textrm{R}_\phi^\mathrm{T}\textrm{R}_\theta^\mathrm{T} = \textrm{R}_\theta^\mathrm{T}\textrm{R}_\phi^\mathrm{T} = \textrm{R}_{\theta + \phi}^\mathrm{T}.</math>
これらの行列の積をあらわに書くと、
:<math>
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