「古典力学/イントロダクション」の版間の差分
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293 行
\begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \end{pmatrix} \\
\vdots \\
\begin{pmatrix} a_{m1}\! & a_{m2}\! & \cdots & a_{mn}\! \end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=
312 行
\left(\boldsymbol{x}_\mathrm{A} - \boldsymbol{x}_\mathrm{B}\right)}
</math>
と書くこともできます。記号 <math>\mathrm{T}</math> は行列の[[w:転置行列|転置]]を表し、ここでは列ベクトルを行ベクトルにする操作を示しています<ref>より一般には <math>m \times n</math> 行列 <math>\textrm{A}</math> に対して <math>\{\textrm{B}\}_{ij} = \{\textrm{A}\}_{ji}</math> を満たす <math>n \times m</math> 行列 <math>\textrm{B}</math> を行列 <math>\textrm{A}</math> の転置行列といいます。行列の積 <math>\textrm{AB}</math> の転置について成り立つ重要な性質として、<math>(\textrm{AB})^\mathrm{T} = \textrm{B}^\mathrm{T}\textrm{A}^\mathrm{T}</
<math>
\{\textrm{AB}\}_{ij}
= \sum_k \{\textrm{A}\}_{ik} \{\textrm{B}\}_{kj}
= \sum_k \{\textrm{B}^\mathrm{T}\}_{jk} \{\textrm{A}^\mathrm{T}\}_{ki}
</math>
となることから確認できます。</ref>。
:<math>\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{x}^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}.</math>
346 ⟶ 352行目:
;3. 回転
平行移動とスケール変換は一次元の場合にも同様に行うことができますが、二次元の場合と一次元の場合で扱い方の異なる変換も存在します。その中でも最も基本的なものとして座標系の回転操作、特に原点を中心とする回転が挙げられます。[[w:右手系|右手系]]で座標系を
:<math>\boldsymbol{x}' = \textrm{R}_\theta
= \begin{pmatrix}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
357 ⟶ 363行目:
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\end{pmatrix}</math>
行列 <math>\textrm{R}_\theta</math> は[[w:回転行列|回転行列]] (rotation matrix) と呼ばれ
座標系の回転について、物体間の距離や物体と原点の間の距離は変わらず、次の関係が成り立ちます。
:<math>|\textrm{R}_\theta
成分表示をすると、
:<math>\sqrt{\left\{\left(\cos\theta\right)^2 + \left(\sin\theta\right)^2\right\}\left(x_1^2 + x_2^2\right)} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}</math>
すなわち
:<math>\left(\cos\theta\right)^2 + \left(\sin\theta\right)^2 = 1</math>
という関係が得られます。これはピタゴラスの定理そのものです。
座標系の回転に対して距離が変化しないという性質は、距離を行ベクトルと列ベクトルの積の形に書き直せば、左辺について
:<math>|\textrm{R}_\theta
= \sqrt{(\textrm{R}_\theta
= \sqrt{\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\textrm{R}_\theta^\mathrm{T}\textrm{R}_\theta
</math>
となるので、これが右辺の <math>|\boldsymbol{x}| = \sqrt{\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{x}}</math> に等しいことから回転行列 <math>\textrm{R}_\theta</math> は
:<math>\textrm{R}_\theta^\mathrm{T}\textrm{R}_\theta
という関係を満たすことが分かります。ここで <math>\textrm{I}</math> は[[w:単位行列|単位行列]] (identity matrix) であり
:<math>\textrm{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
382 ⟶ 388行目:
他にも座標系の回転について、回転角の和が等しければ回数や順序によらず同じ座標系が得られるので、次の関係が成り立ちます。
:<math>\textrm{R}_\phi
これらの行列の積をあらわに書くと、
:<math>
\begin{pmatrix}
- \sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right) - \cos\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right) &
- \sin\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right) + \cos\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- \sin\left(\theta + \phi\right) & \cos\left(\theta + \phi\right)
\end{pmatrix}
</math>
403 ⟶ 409行目:
= \cos\left(\theta + \phi\right) \\
\cos\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right) + \sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)
=
\end{cases}
</math>
という三角関
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