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「電磁気学/電磁波の式の導出」の版間の差分

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ここでは[[w:マクスウェルの方程式|マクスウェルの方程式]]から[[w:電磁波|電磁波]]の[[w:波動方程式|波動方程式]]を導く。
 
マクスウェルの式は[[w:真空|真空]]中では次のようになる。
:<math>\operatorname{div} \mathbf{B} = 0\,\cdots\,(1)</math>
:<math>\operatorname{rot} \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}\,\cdots\,(2)</math>▼
:<math>\square operatorname{div}\mathbf{BE} = \frac{1\rho}{\varepsilon_0 c^2} \operatorname{rot} ,\mathbf{j}cdots\,(3)</math>▼
:<math>\operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \epsilon_0 varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\cdots\,(4)</math>▼
の様に表わせる。また、[[w:ベクトル解析|ベクトル解析]]の[[w:回転 (ベクトル解析)|回転]]と[[w:勾配 (ベクトル解析)|勾配]]及び[[w:発散 (ベクトル解析)|発散]]と[[w:ラプラス作用素|ラプラシアン]]の[[w:演算子|演算子]]をそれぞれ
:<math>\operatorname{rot} (\operatorname{rot} \mathbf{F}) = -\Delta\mathbf{F} + ,~\operatorname{grad} (,~\operatorname{div} ,~\mathbf{F})Delta</math>▼
と[[w:定義|定義]]する。
 
第二まず、(2)式の両辺それぞれの[[w:ベクトル場|ベクトル場]]それぞれの回転をとって、▼
▲:<math>\operatorname{rot} \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}</math>
:<math>\operatorname{divrot}(\operatorname{rot} \mathbf{E} )= -\rho / operatorname{rot}\varepsilon_0frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
として、左辺にベクトル解析の公式 <math>\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=-\Delta\mathbf{F}+\operatorname{grad}(\operatorname{div}\mathbf{F})</math> を適用し、右辺は時間微分と空間微分とを交換すると
:<math>-\Delta\mathbf{BE} + \operatorname{grad} (\operatorname{div} \mathbf{BE}) = \mu_0 \operatorname{rot} \mathbf{j} + \mu_0\varepsilon_0 -\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot} \mathbf{EB})</math>▼
となる。そしてこの式に、(3)式及び(4)式を代入すると
:<math>\therefore-\Delta\mathbf{BE} = +\mu_0 frac{1}{\varepsilon_0}\operatorname{rotgrad} \rho=-\mu_0\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}- \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{BE}}{\partial t^2}\,\cdots\,(5)</math>▼
であとなる。▼
 
第四また、(4)式の両辺それぞれのベクトル場それぞれの回転をとって、▼
▲:<math>\operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>
:<math>\operatorname{rot} (\operatorname{rot} \mathbf{B}) = \mu_0 \operatorname{rot} \mathbf{j} + \mu_0\varepsilon_0 \operatorname{rot} \frac{\partial\mathbf{E}} {\partial t}</math>▼
として、[[w:電場|電場]]の場合と同様に変形して、▼
:<math>-\Delta\mathbf{B}+\operatorname{grad}(\operatorname{div}\mathbf{B})=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot}\mathbf{E})</math>
と変形して次に、(1)式及び(2)式を代入すると
= :<math>\therefore- \Delta\mathbf{B}=\mu_0 \fracoperatorname{\partial rot}\mathbf{j}}{\partial t} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{EB}}{\partial t^2}\,\cdots\,(6)</math>▼
となる。
 
ここで、[[w:ダランベール演算子|ダランベルシアン]]を
▲第二式の両辺それぞれ[[w:ベクトル場|ベクトル場]]の回転をとって、
:<math>\operatorname{rot} (Box=\operatornamefrac{rot1} \mathbf{Ec^2}) = - \operatorname{rot} \frac{\partial\mathbf{B^2}} {\partial t^2}-\Delta</math>
と定義すると、(5),(6)式は
 
:<math>\begin{align}\therefore\,&\square \mathbf{E} = - \frac{1}{\varepsilon_0} (\operatorname{grad} \rho-\mu_0\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}+ \left(\frac{1}{c^2} -\mu_0\varepsilon_0\right)\frac{\partial ^2\mathbf{jE}}{\partial t^2})</math>\\▼
左辺に[[w:ベクトル解析|ベクトル解析]]の式
&\square\mathbf{B}=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}\end{align}</math>
<math>
と表され、伝播速度が
▲\operatorname{rot} (\operatorname{rot} \mathbf{F}) = -\Delta\mathbf{F} + \operatorname{grad} (\operatorname{div} \mathbf{F})
:<math>c = \frac{1 / }{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}</math>▼
</math>
で表される波を仮定すると、真空の[[w:透磁率|透磁率]] ''&mu;''{{sub|0}} が消え
を適用し、右辺は時間微分と空間微分を交換する。
:<math>-\Deltabegin{align}\therefore\,&\square\mathbf{E} + =-\operatornamefrac{grad1} {\varepsilon_0}\left(\operatorname{divgrad} \mathbfrho+\frac{E1}{c^2}) = -\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}(\operatorname{rot} right)\\mathbf{B})</math>
&\square\mathbf{B}=\frac{1}{\varepsilon_0c^2}\operatorname{rot}\mathbf{j}\end{align}</math>
 
となり [[w:真空の誘電率|真空の誘電率]] ''&epsilon;''{{sub|0}} のみを[[w:係数|係数]]として表す事も出来る。更に、[[w:電流|電流]]が流れていなければ ''&rho;'' 及び '''j''' が消えるので、(5),(6)式は完全に電磁波に関する波動方程式となる。
第三式及び四式を代入して、
 
:<math> -\Delta\mathbf{E} + \frac{1}{\varepsilon_0}\operatorname{grad} \rho
▲= - \mu_0 \frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math>
 
▲第四式の両辺それぞれベクトル場の回転をとって、
▲:<math>\operatorname{rot} (\operatorname{rot} \mathbf{B}) = \mu_0 \operatorname{rot} \mathbf{j} + \mu_0\varepsilon_0 \operatorname{rot} \frac{\partial\mathbf{E}} {\partial t}</math>
 
▲電場の場合と同様に変形して、
▲:<math>-\Delta\mathbf{B} + \operatorname{grad} (\operatorname{div} \mathbf{B}) = \mu_0 \operatorname{rot} \mathbf{j} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot} \mathbf{E})</math>
 
第一式及び二式を代入して、
▲:<math>-\Delta\mathbf{B} = \mu_0 \operatorname{rot} \mathbf{j} - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math>
 
結局
▲:<math>\square \mathbf{E} = - \frac{1}{\varepsilon_0} (\operatorname{grad} \rho + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t})</math>
 
▲:<math>\square \mathbf{B} = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \operatorname{rot} \mathbf{j}</math>
 
ソース &rho;、 '''j''' が無い場合はこれらは波動方程式の形をしている。
伝播速度は
 
<math>
▲c = 1 / \sqrt{\mu_0\varepsilon_0}
</math>
 
▲である。
 
[[Category:物理学|てんしはのしきのとうしゆつ]]
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