「電磁気学/電磁波の式の導出」の版間の差分

削除された内容 追加された内容
編集の要約なし
M編集の要約なし
7 行
:<math>\operatorname{div}\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\,\cdots\,(3)</math>
:<math>\operatorname{rot}\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,\cdots\,(4)</math>
の様に表わせる。また、[[w:ベクトル解析|ベクトル解析]]の[[w:回転 (ベクトル解析)|回転]]と[[w:勾配 (ベクトル解析)|勾配]]及び[[w:発散 (ベクトル解析)|発散]]と[[w:ラプラス作用素|ラプラシアン]]の[[w:演算子|演算子]]をそれぞれ
:<math>\operatorname{rot},~\operatorname{grad},~\operatorname{div},~\Delta</math>
と[[w:定義|定義]]する。
 
まず、(2)式の両辺の[[w:ベクトル場|ベクトル場]]それぞれの回転をとって
:<math>\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\mathbf{E})=-\operatorname{rot}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
変形して、この式の左辺にベクトル解析の公式 <math>\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=-\Delta\mathbf{F}+\operatorname{grad}(\operatorname{div}\mathbf{F})</math> を適用し、右辺は時間微分と空間微分とを交換すると
:<math>-\Delta\mathbf{E}+\operatorname{grad}(\operatorname{div}\mathbf{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot}\mathbf{B})</math>
となる。そしてこの式に、(3)式及び(4)式を代入すると
19 行
となる。
 
また、(4)式の両辺のベクトル場それぞれの回転をとって
:<math>\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\mathbf{B})=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\operatorname{rot}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>
変形た後、[[w:電場|電場]]の場合と同様に
:<math>-\Delta\mathbf{B}+\operatorname{grad}(\operatorname{div}\mathbf{B})=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot}\mathbf{E})</math>
変形して次にこの式に(1)式及び(2)式を代入すると
:<math>\therefore-\Delta\mathbf{B}=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}\,\cdots\,(6)</math>
となる。
29 行
ここで、[[w:ダランベール演算子|ダランベルシアン]]を
:<math>\Box=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta</math>
と定義すると、(5),式及び(6)式は
:<math>\begin{align}\therefore\,&\square\mathbf{E}=-\frac{1}{\varepsilon_0}\operatorname{grad}\rho-\mu_0\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}+\left(\frac{1}{c^2}-\mu_0\varepsilon_0\right)\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}\\
&\square\mathbf{B}=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}+\left(\frac{1}{c^2}-\mu_0\varepsilon_0\right)\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}\end{align}</math>
と表され、伝播速度が
::<math>c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}</math>
で表される波を仮定すると
:<math>\begin{align}\therefore\,&\square\mathbf{E}=-\frac{1}{\varepsilon_0}\left(\operatorname{grad}\rho+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}\right)\\
39 行
&\square\mathbf{B}=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}\\
&~~~~~=\frac{1}{\varepsilon_0c^2}\operatorname{rot}\mathbf{j}\end{align}</math>
となり、真空の[[w:透磁率|透磁率]] ''&mu;''{{sub|0}} か[[w:真空の誘電率|真空の誘電率]] ''&epsilon;''{{sub|0}} のどちらか一方のみを[[w:係数|係数]]として表す事も出来る。更に、[[w:電流|電流]]が流れていなければ ''&rho;'' 及び '''j''' が消えるので、(5),式及び(6)式は完全に電磁波に関する波動方程式となる。
 
[[Category:物理学|てんしはのしきのとうしゆつ]]