「電磁気学/電磁波の式の導出」の版間の差分

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ここでは[[w:マクスウェルの方程式|マクスウェルの方程式]]から[[w:電磁波|電磁波]]の[[w:波動方程式|波動方程式]]を導く。
 
通常、マクスウェルの式は '''E''' を[[w:電場|電場の強度]]、'''B''' を[[w:磁束密度|磁束密度]]、'''D''' を[[w:電束密度|電束密度]]、'''H''' を[[w:磁場|磁場の強度]]、''ρ'' を[[w:電荷密度|電荷密度]]、'''j''' を[[w:電流密度|電流密度]]表わせる。またして、[[w:ベクトル解析|ベクトル解析]]の[[w:回転 (ベクトル解析)|回転]]と[[w:勾配 (ベクトル解析)|勾配]]及び[[w:発散 (ベクトル解析)|発散]]と[[w:ラプラス作用素|ラプラシアン]]の[[w:演算子|演算子]]をそれぞれ
マクスウェルの式は[[w:真空|真空]]中では
:<math>\operatorname{rot},~\operatorname{grad},~\operatorname{div},~\Delta</math>
と[[w:定義|定義]]し、表記されるが、[[w:マクスウェルの方程式#真空中|真空中]]では[[w:E-B対応とE-H対応|E-B対応とE-H対応]]により、電束密度 '''D''' が電場 '''E''' に、磁場の強度 '''H''' が磁束密度 '''B''' に統合され
:<math>\operatorname{div}\mathbf{B}=0\,\cdots\,(1)</math>
:<math>\operatorname{rot}\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\,\cdots\,(2)</math>
:<math>\operatorname{div}\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\,\cdots\,(3)</math>
:<math>\operatorname{rot}\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,\cdots\,(4)</math>
と表わせる。
と表わせる。また、[[w:ベクトル解析|ベクトル解析]]の[[w:回転 (ベクトル解析)|回転]]と[[w:勾配 (ベクトル解析)|勾配]]及び[[w:発散 (ベクトル解析)|発散]]と[[w:ラプラス作用素|ラプラシアン]]の[[w:演算子|演算子]]をそれぞれ
:<math>\operatorname{rot},~\operatorname{grad},~\operatorname{div},~\Delta</math>
と[[w:定義|定義]]する。
 
まず、(2)式の両辺の[[w:ベクトル場|ベクトル場]]それぞれの回転をとり
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また、(4)式の両辺のベクトル場それぞれの回転をとり
:<math>\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\mathbf{B})=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\operatorname{rot}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>
と変形した後、[[w:電場|電場]]の場合と同様に
:<math>-\Delta\mathbf{B}+\operatorname{grad}(\operatorname{div}\mathbf{B})=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot}\mathbf{E})</math>
と式変形して、この式に(1)式及び(2)式を代入すると
32 行
:<math>\begin{align}\therefore\,&\square\mathbf{E}=-\frac{1}{\varepsilon_0}\operatorname{grad}\rho-\mu_0\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}+\left(\frac{1}{c^2}-\mu_0\varepsilon_0\right)\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}\\
&\square\mathbf{B}=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}+\left(\frac{1}{c^2}-\mu_0\varepsilon_0\right)\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}\end{align}</math>
と表され、電磁波を伝播速度が
::<math>c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}</math>
で表される波であると仮定すると
:<math>\begin{align}\therefore\,&\square\mathbf{E}=-\frac{1}{\varepsilon_0}\left(\operatorname{grad}\rho+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}\right)\\
&~~~~\,=-\mu_0\left(c^2\operatorname{grad}\rho+\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}\right)\\
&\square\mathbf{B}=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}\\
&~~~~~=\frac{1}{\varepsilon_0c^2}\operatorname{rot}\mathbf{j}\end{align}</math>
となり、[[w:真空|真空]]の[[w:透磁率|透磁率]] ''&mu;''{{sub|0}} か[[w:真空の誘電率|真空の誘電率]] ''&epsilon;''{{sub|0}} のどちらか一方のみを[[w:係数|係数]]として表す事も出来る。更に、[[w:電流|電流]]が流れてい存在しなければ ''&rho;'' 及び '''j''' が消えるので、(5)式及び(6)式は完全に電磁波に関する波動方程式となる。
 
[[Category:物理学|てんしはのしきのとうしゆつ]]