「電磁気学/電磁波の式の導出」の版間の差分

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通常、マクスウェルの式は '''E''' を[[w:電場|電場の強度]]、'''B''' を[[w:磁束密度|磁束密度]]、'''D''' を[[w:電束密度|電束密度]]、'''H''' を[[w:磁場|磁場の強度]]、''ρ'' を[[w:電荷密度|電荷密度]]、'''j''' を[[w:電流密度|電流密度]]として、[[w:作用素|作用素]] [[w:ナブラ|∇]] を用いて
:<math>\begin{cases}\nabla\cdot\mathbf{B}(t,\mathbf{x})&=0</math>\\
:<math>\nabla\times\mathbf{E}(t,\mathbf{x})+\frac{\partial\mathbf{B}(t,\mathbf{x})}{\partial t}&=0</math>\\
:<math>\nabla\cdot\mathbf{D}(t,\mathbf{x})&=\rho(t,\mathbf{x})</math>\\
:<math>\nabla\times\mathbf{H}(t,\mathbf{x})-\frac{\partial\mathbf{D}(t,\mathbf{x})}{\partial t}&=\mathbf{j}(t,\mathbf{x})\end{cases}</math>
と表記されるが、[[w:マクスウェルの方程式#真空中|真空中]]では[[w:E-B対応とE-H対応|E-B対応とE-H対応]]により、電束密度 '''D''' と電場 '''E''' 及び磁場の強度 '''H''' と磁束密度 '''B''' がそれぞれ
:<math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}</math>
13 行
:<math>\operatorname{rot},~\operatorname{grad},~\operatorname{div},~\Delta</math>
と[[w:定義|定義]]すると
:<math>\begin{cases}\operatorname{div}\mathbf{B}&=0\,\cdots\,(1)</math>\\
:<math>\operatorname{rot}\mathbf{E}&=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\,\cdots\,(2)</math>\\
:<math>\operatorname{div}\mathbf{E}&=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\,\cdots\,(3)</math>\\
:<math>\operatorname{rot}\mathbf{B}&=\mu_0\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,\cdots\,(4)\end{cases}</math>
と表わせる。
 
43 行
::<math>c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}</math>
で表される波であると仮定すると
:<math>\begin{align}\therefore\,&\begin{alignat}{2}\square\mathbf{E}&=-\frac{1}{\varepsilon_0}\left(\operatorname{grad}\rho+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}\right)\\
&~~~~\,=-\mu_0\left(c^2\operatorname{grad}\rho+\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}\right)\end{alignat}\\
&\begin{alignat}{2}\square\mathbf{B}&=\mu_0\operatorname{rot}\mathbf{j}\\
&~~~~~=\frac{1}{\varepsilon_0c^2}\operatorname{rot}\mathbf{j}\end{alignat}\end{align}</math>
となり、[[w:真空|真空]]の[[w:透磁率|透磁率]] ''&mu;''{{sub|0}} か[[w:真空の誘電率|真空の誘電率]] ''&epsilon;''{{sub|0}} のどちらか一方のみを[[w:係数|係数]]として表す事も出来る。更に、[[w:電流|電流]]が存在しなければ ''&rho;'' 及び '''j''' が消えるので、(5)式及び(6)式は完全に電磁波に関する波動方程式となる。