「古典力学/イントロダクション」の版間の差分
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M →座標系の変換 |
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という三角関数に関する加法定理が得られます。
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さて、ここまで座標系の変換の具体例をいくつか紹介しましたが、上に挙げた例では変換前と変換後の座標系で同一のベクトルを表した際に、ベクトルの成分がどのように変化するかという視点で説明しました。
この観点において、実際にはベクトル自体は何の変換も受けないにもかかわらずベクトルが変化してしまっているように見えることと、座標系に対する変換を成分に対する変換として表してしまっていることは、事情を必要以上に複雑に見せる場合があり不満が残ります。そこで、座標系を特徴づける[[w:基底 (線型代数学)|基底ベクトル]] (basis vector) および原点をあらわに書いて座標系の変換を書き直します。
基底ベクトルは座標系の軸に対応するベクトルであり、（考察対象である）任意のベクトルは、基底ベクトルの定数倍の和、すなわち基底ベクトルの[[w:線形結合|線形結合]] (linear combination) によって一意に表すことができます。ベクトルの成分とは、ベクトルをある基底ベクトルの線形結合として表した際に出てくる<ref>このようにあるベクトルをある基底ベクトルの線形結合として表現することを「ベクトルを（その基底によって）展開する」といいます。</ref>、基底ベクトルの係数の組のことをいいます。
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座標変換の後と前とにおける基底ベクトルは互いの線形結合によって表すことができ、変換前の基底を変換後の基底によって展開したものは
:<math>\begin{align}
\mathbf{e}^{(1)} &= P'_{11}
\mathbf{e}^{(2)} &= P'_{21}
\end{align}</math>
となり、変換後の基底を変換前の基底によって展開したものは
:<math>\begin{align}
{\mathbf{e}'}^{(1)} &=
{\mathbf{e}'}^{(2)} &=
\end{align}</math>
となります。ここで現れる係数の組 <math>\{
基底ベクトルの組を単に <math>\mathbf{e},\, \mathbf{e}'</math> と表し、基底の展開係数の組を行列 <math>\textrm{P}',\,\textrm{P}</math> によって表せば、上記の関係は以下のようにまとめられます。
:<math>\begin{cases}
452 行
:<math>\begin{align}
\boldsymbol{x} &= x_1\mathbf{e}^{(1)} + x_2\mathbf{e}^{(2)} \\
&= x_1\left\{ P'_{11}
+ x_2\left\{ P'_{21}
&= (\{P^{-1}\}_{11}
+ (\{P^{-1}\}_{12}
\end{align}</math>
となります。ここで変換後の成分を取り出すと以下の関係が得られます。
:<math>\begin{align}
x'_1 &= \{P^{-1}\}_{11}
x'_2 &= \{P^{-1}\}_{12}
\end{align}</math>
また成分ベクトルを <math>\boldsymbol\xi^\mathrm{T} = (x_1,\, x_2)</math> とすれば、上記の関係は以下のように整理できます。
:<math>
\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\mathbf{e}
= \boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\textrm{P}'\mathbf{e}'
= \boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\textrm{P}^{-1}\textrm{P}\mathbf{e}
= {(\{\textrm{P}^{-1}
</math>
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