「初等数学」の版間の差分

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ちなみに、複素数と呼ばれる数の範囲では、n次方程式は一般にn個の解を持つことが知られている。(厳密に言えば、少し言葉足らずだが)
 
====2元1次方程式====
2元1次方程式とは、未知数が2つで、その次数が1であるような方程式である。<br>
例:3x+2y=5,5x+3y=9<math>,{ 3a+4b \over 5}+{ 7a-5b \over 11}=13</math><br>
三つ目の例も複雑だが、よく見ると、文字は2つで(aとb)次数も1なので、2元1次方程式である。<br>
たとえば、ひとつ目の3x+2y=5を満たすxとyの値を考える。<br>
すぐに見つかるのは、x=1とy=1である。しかし、この方程式を満たすのはx=1とy=1だけではない。<br>
他にも、x=5とy=-5の時も確かに方程式を満たす。また、x=0とy=<math>{5 \over 2}</math>なども方程式を満たす。<br>
実を言うと、この方程式を満たすxとyの値は無数に存在する。<br>
なので、もうひとつ、例の方程式を追加し、それを満たすxとyの値を調べてみる。<br>
<math>\left\{ \begin{matrix} 3x+2y=5 \\ 5x+3y=9 \end{matrix}\right.</math>を同時に満たすようなxとyの値はx=3とy=-2である。<br>
この例から予想できるように、未知数が2つの2元1次方程式がひとつだけ与えられた場合、それの解は無数に存在するが、2つの2元1次方程式が2つ与えられた時、解はただひとつに定まる(一部例外もある)。<br>
また、一般に未知数がn個の方程式がn個与えられた時は、解はただ1つに定まる(一部例外もあるが)。<br>
2つ以上の方程式がセットになったようなものを'''連立方程式'''という。<br>
では、どのように連立方程式をどのように解くか説明しよう。<br>
 
=====代入法=====
'''代入法'''とは、代入により解く方程式である。<br>
説明よりも具体的に見てみよう。<br>
連立方程式<math>\left\{ \begin{matrix} 3x-y=5 \\ 5x+3y=-1 \end{matrix}\right.</math>を解くことを考える。<br>
一つ目の式を移項してx=(yの式)もしくは、y=(xの式)の形に直す。(この形以外の変形もある)<br>
この場合はy=(xの式)の形に直して、y=3x-5になる。<br>
これをもうひとつの式に代入する。代入とは、いわばあるものを同じほかのもので置き換えることである。<br>
この場合はy=3x-5よりもちろんyと3x-5は等しいので置き換えることができる。このような操作が代入である。<br>
もうひとつの式である、5x+3y=-1のyを3x-5で置き換えると、<br>
5x+3(3x-5)=-1<br>
となる。このとき、括弧をつけるのを忘れないようにする。<メモ:その理由>
後は、上の1元1次方程式を解き、x=1を得る。これをどちらかの方程式に代入する。<br>
つまり、2式のどちらかのxをそれと等しい1で置き換える。<br>
すると、3-y=5と5+3y=-1の式を得る。(実際はどちらか一方だけでいいが、確認の意味で2式ともに代入する事もある。)
どちらの1元1次方程式を解いてもy=-2を得る。<br>
よって答えは、x=1とy=-2である。実際に2式とも等式が成り立つことを確認して欲しい。<br>
 
 
=====加減法=====
<math>\left\{ \begin{matrix} 3x+y=5 \\ 5x+3y=7 \end{matrix}\right.</math><br>
次は、'''加減法'''という連立方程式の解き方を説明する。<br>
加減法とは、与えられた2式の加減を行って、一次方程式に帰着させることによって解く。<br>
実際に上の方程式を解いてみる。一つ目の3x+y=5を①、2つめの5x+3y=7を②とすると、<br>
①の式を3倍して、②の式を引くと・・・<br>
まず、3x+y=5の両辺に3を掛けて、<br>
9x+3y=15<br>
ここから、②の式を引く<br>
(9x+3y)-(5x+3y)=15-7<br>
4x=8<br>
x=2<br>
これを元のどちらかの式のxに代入して、yの値を求める。<br>
6+y=5と10+3y=7を得る。どちらの方程式を解いても、y=-1を得る。<br>
よってこの方程式の答えはx=2とy=-1である。<br>
 
=====2元1次方程式について=====
まず答えの書き方について説明する。<br>
たとえば、答えがx=1とy=-2のとき、次のように書く。<br>
*<math>\left\{ \begin{matrix} x=1 \\ y=-2 \end{matrix}\right.</math>
*<math>(x,y)=(2,-1)</math>
*<math>x=2,y=-1</math>
このうちどの書き方でもよい。
 
 
次は、代入法と加減法で答えが一致することを確認する。<br>
連立2元1次方程式を一般的に表すと、次のようになる。<br>
<math>\left\{ \begin{matrix} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{matrix}\right.</math>(a,b,c,d,e,fは定数)<br>
この方程式を実際に代入法と加減法で解いてみる。あまり詳しい説明はしない。また、どちらの解き方も上の式を①、下の式を②とする。<br>
'''代入法で解いた時'''<br>
①⇔<math>x=-{b \over a}y+{c \over a}</math><br>
これを②に代入して、<br>
<math>-{bd \over a}y+{cd \over a}+ey=f</math>⇔<math>{ae-bd \over a}y={af-cd \over a}</math>⇔<math>y={af-cd \over ae-bd}</math><br>
<math>y={af-cd \over ae-bd}</math>を①に代入して、<br>
<math>ax+b{af-cd \over ae-bd}=c</math>⇔<math>ax={(ace-bcd)-(abf-bcd) \over ae-bd}={ace-abf \over ae-bd}</math>⇔<math>x={ce-bf \over ae-bd}</math><br>
したがって、<math>\left\{ \begin{matrix} x={ce-bf \over ae-bd} \\ y={af-cd \over ae-bd} \end{matrix}\right.</math><br>
'''加減法でといた時'''<br>
①⇔<math>adx+bdy=cd</math>…③<br>
②⇔<math>adx+aey=af</math>…④<br>
③-④より<math>(bd-ae)y=cd-af</math>⇔<math>y={cd-af \over bd-ae}</math><br>
また、①⇔<math>aex+bey=ce</math>…⑤<br>
②⇔<math>bdx+bey=bf</math>…⑥<br>
⑤-⑥より<math>(ae-bd)x=ce-bf</math>⇔<math>x={ce-bf \over ae-bd}</math><br>
したがって、<math>\left\{ \begin{matrix} x={ce-bf \over ae-bd} \\ y={cd-af \over bd-ae} \end{matrix}\right.</math><br>
yの値が代入法の時と少し違うようにも見えるが、どちらかの分母分子に-1をかけると2つは一致する。つまり、どちらのyの値も等しいことが分かる。
<br>
 
====n元1次方程式====