「初等数学公式集」の版間の差分
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mathタグ内の式中のピリオドを削除。式中には終了記号を入れないのが標準だし、ピリオドを終了記号にするのも標準。 |
前投稿の要約で「ピリオドを終了記号にするのも非標準。」と言おうとした。蔵書一覧は不要であり、リンクを削除した。 |
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"''公式とは、数式で表される定理のことである'' " （[[:w:ja:公式|出典:フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』- 公式]]）
以下に、日本の数学教育において大学入学程度の水準まで
== 初等幾何 ==
167 ⟶ 166行目:
* <math>\vec{a}</math> と <math>\vec{b}</math> の成す角が <math>\theta</math> のとき
*:<math>\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math>
* <math>\vec{a}\ne\vec{0}</math>, <math>\vec{b}\ne\vec{0}</math>のとき、
:<math>\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0</math>
* <math>\overrightarrow{OA}=\vec{a}</math>, <math>\overrightarrow{OB}=\vec{b}</math>, ''O'' は原点とするときの三角形 ''OAB'' の面積 <math>S</math>：
*:<math>S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} </math>
:とくに、<math>\vec{a}=(a_x,a_y)</math>, <math>\vec{b}=(b_x,b_y)</math>とすると、
219 ⟶ 218行目:
==== 式の変形 ====
* <math>a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab</math>
* <math>(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab</math>
* <math>(a+b)^2 + (a-b)^2= 2(a^2 + b^2)</math>
* <math>a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)</math>
* <math>a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)</math>
* <math>(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2+(ad-bc)^2</math>
=== 絶対不等式 ===
240 ⟶ 239行目:
=== 方程式 ===
* 1次方程式 <math>ax + b =0</math> の解の公式:
*:<math>x = - \frac{b}{a}</math>
* 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の解の公式：
*:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
** <math>ax^2 + 2bx + c =0</math> の場合には、：
259 ⟶ 258行目:
* 自然数''Q'',''N''に対し、1以上''Q''以下の''N''の倍数の個数。:
*:<math>[Q \div N] </math> ただし、<math>[x]</math>はガウス記号。
** 自然数''P'',''Q'',''N''に対し、''P''以上''Q''以下の''N''の倍数の個数
**:<math>[Q \div N]-[(P-1) \div N]</math> ただし、<math>[x]</math>はガウス記号。
* 自然数''a'',''b''について、それらの最大公約数を''g''、最小公倍数を''l''とすると、以下の関係が成り立つ。:
*:<math>ab = lg</math>
* 奇数の和:
271 ⟶ 270行目:
* <math>\frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b}\right) </math><math>(a\not=b) </math>
* <math>\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} </math>
==== 複素数 ====
* <math>\displaystyle i^2=-1 </math>
* <math>\displaystyle e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta </math>（オイラーの式）
* <math>\displaystyle e^{\pi i} = -1 </math>
* 複素数のべき乗：（ド・モアブルの定理）
*:<math>\left\{r(\cos \theta + i \sin \theta)\right\}^n = r^n \left\{\cos ( n \theta) + i \sin (n \theta)\right\}</math>
325 行
* <math>y=f(x)</math>の表すグラフを ''x''軸方向に''a''、 ''y''軸方向に''b''移動したときのグラフを表す式：
*:<math> y-b = f(x-a)</math>
==== 対称移動 ====
* <math>y=f(x)</math>の表すグラフを ''x''軸に関して対称移動したときのグラフを表す式：
337 ⟶ 338行目:
=== 三角関数 ===
==== 基本公式 ====
* 三平方の定理から以下の公式が導き出される（三角比の相互関係）。：
*:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math>
*:<math>1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}</math>
351 ⟶ 352行目:
==== 加法定理 ====
* <math>\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta </math>
* <math>\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta </math>
* <math>\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta} </math>
（すべて複号同順）
==== 二倍角の公式 ====
* <math>\displaystyle \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta</math>
* <math>\displaystyle \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta</math>
* <math>\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}</math>
==== 半角の公式 ====
* <math>\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1-\cos\theta}{2}</math>
* <math>\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1+\cos\theta}{2}</math>
* <math>\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}</math>
* <math>\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}= \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}</math>
==== 和積の公式 ====
* <math>\sin \alpha + \sin \beta =2\sin{\frac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}</math>
* <math>\sin \alpha - \sin \beta =2\cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}\sin{\frac{\alpha - \beta}{2}}</math>
* <math>\cos \alpha + \cos \beta =2\cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}</math>
* <math>\cos \alpha - \cos \beta =-2\sin{\frac{\alpha + \beta}{2}}\sin{\frac{\alpha - \beta}{2}}</math>
* <math>\sin \alpha \cdot \cos \beta =\frac{1}{2}\left\{\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha - \beta)\right\}</math>
* <math>\cos \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\left\{\sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha - \beta)\right\}</math>
* <math>\cos \alpha \cdot \cos \beta =\frac{1}{2}\left\{\cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha - \beta)\right\}</math>
* <math>\sin \alpha \cdot \sin \beta =-\frac{1}{2}\left\{\cos(\alpha + \beta)-\cos(\alpha - \beta)\right\}</math>
==== 三角関数の合成 ====
* <math>a\sin \theta + b\cos \theta =\sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)</math>ただし、<math>\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>
=== 指数関数・対数関数 ===
384 ⟶ 385行目:
==== 指数関数 ====
* <math>\displaystyle a^b\times a^c=a^{b+c}</math>
* <math>a^b\div a^c = a^{b-c}</math>
* <math>\displaystyle (a^b)^c=a^{bc}</math>
* <math>\displaystyle (ab)^c=a^cb^c</math>
==== 対数関数 ====
以下a>0かつa≠1とし、また対数の真数として表れるものはすべて正とする。
* <math>\displaystyle \log_a(bc) = \log_a b + \log_a c</math>
* <math>\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c</math>
* <math>\displaystyle \log_a b^c = c\log_a b</math>
* <math>\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}</math>
**特に<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math>, <math>\log_a b \cdot \log_b a = 1</math>
== 三次元空間 ==
* 2点A<math>(a_1, b_1, c_1)</math>, B<math>(a_2, b_2, c_2)</math>間の距離：
*:<math>AB = \sqrt{(a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2+ (c_2 - c_1)^2}</math>
408 ⟶ 409行目:
=== 平面の式 ===
* 一般式
*:<math>ax + by + cz + d = 0</math>
** 点 <math>(x_0, y_0, z_0)</math> を通り、法線ベクトルが<math>(a, b, c)</math>である平面の式：
415 ⟶ 416行目:
**:<math>\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1</math>
* 点''P'' <math>(p, q, r)</math>と直線<math>ax + by + cz + d = 0</math>の距離:
*:<math> \frac{\left|ap + bq + cr + d\right\vert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} </math>
=== 球面の式 ===
* 中心座標<math>\displaystyle (a, b, c)</math>、半径''r''の球の方程式（標準形）：
*:<math>\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2</math>
425 ⟶ 426行目:
=== 数列と極限 ===
==== 数列 ====
* <math> \sum_{k=1}^n k = {1\over 2}n(n+1)</math>
* <math> \sum_{k=1}^n k^2 = {1\over 6}n(n+1)(2n+1)</math>
* <math> \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ {1\over 2}n(n+1) \right\}^2</math>
* <math> \sum_{k=1}^n ar^{k-1}=\begin{cases}
an & (r=1)\\
\cfrac{a(1-r^n)}{1-r}& (r\not=1)\end{cases}
436 ⟶ 437行目:
==== 数列・級数の極限 ====
* 数列 <math>\displaystyle \{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}</math> が、<math>N</math> が十分大きいとき常に <math>\displaystyle a_N \le b_N \le c_N</math> を満たし、<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha</math> となるならば、<math>\displaystyle \{b_n\}</math> も収束し、
*:<math>\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha</math>
（はさみうちの原理）
* 数列 <math>\{a_n\},\{b_n\}</math> に対して, <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha</math>, <math>\lim_{n\to\infty}b_n=\beta</math> ならば、
# <math>\lim_{n\to\infty}ka_n=k\alpha</math> ただし <math>k</math> は定数。
# <math>\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm \beta</math>（複号同順）。
# <math>\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\alpha\beta</math>
# <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}</math> （ただし、<math>\beta\not=0</math>）。
* 数列 <math>\{r^n\}</math> について、
# <math>\displaystyle |r|<1</math> ならば <math>\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>。
# <math>r=1</math> ならば <math>\lim_{n\to\infty}r^n=1</math>。
# <math>\displaystyle r > 1</math> ならば <math>\lim_{n\to\infty}r^n=\infty</math>。
# <math>r</math> ≤ <math>-1</math> ならば <math>\lim_{n\to\infty}r^n</math> は存在しない。
* 級数： <math>S_n=\sum_{k=1}^{n-1}r^{k-1}</math> について、
# <math>|r|<1</math> のとき <math>\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{1-r}</math>。
# <math>|r|</math> ≥ <math>1</math> のとき <math>\lim_{n\to\infty}S_n</math> は発散する。
==== 関数の極限 ====
* <math>\lim_{x\to a}f(x)=\alpha</math>, <math>\lim_{x\to a}g(x)=\beta</math>のとき、
# <math>\lim_{x\to a}kf(x)=k\alpha</math> ただし、<math>k</math> は定数。
# <math>\lim_{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=\alpha\pm\beta</math>（複号同順）。
# <math>\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta</math>
# <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}</math> ただし、<math>\displaystyle \beta \ne 0</math>。
* <math>a</math> のある近傍で定義された関数<math>f</math>, <math>g</math>, <math>h</math> があり、この近傍内の任意の <math>x</math> に対して、<math>\displaystyle f(x)</math> ≤ <math>g(x)</math> ≤ <math>h(x)</math> かつ <math>\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\alpha</math> ならば、<math>\lim_{x\to a}g(x)</math> は収束し、
*:<math>\lim_{x\to a}g(x)=\alpha</math>
* <math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1</math>
* <math>\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1</math>
* <math>\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^h=\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e</math>
* <math>\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{r}{h}\right)^h=e^r</math>
* <math>\lim_{r\to\infty}\sqrt[r]{a}=1</math>（<math>a</math> は正定数）。
* <math>\lim_{r\to\infty}\sqrt[r]{r}=1</math>
=== 微積分 ===
* <math>{d\over dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x) </math>（微積分学の基本定理）
==== 微分 ====
<math>\prime=\frac{d}{dx}</math>, 変数 ''x'' の微分可能な関数 ''f'', ''g'' に対して
* <math>(f+g)^\prime=f^\prime+g^\prime</math>
* <math>(fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime</math>（ライプニッツ則）
* <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(\mbox{where } g\ne 0)</math>
* <math>(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'</math>
*:別の表現で <math>\frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}</math>。（チェインルール）
* <math>\left(f^{-1}\right)'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}</math>
*: <math>y=f\left( x \right)</math>とおくと、<math>x=f^{-1}\left( y \right)</math>で <math>\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}</math> とも表せる。
* 媒介変数による微分 <math> x=x\left( t \right),y=y\left( t \right)</math> ならば <math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}</math>
実数 <math>a</math> に対して
* <math>\left(x^a\right)'=ax^{a-1} </math>
* <math>\left(a^x\right)'=a^x \log a </math>
*:特に、<math>\left(e^x\right)'=e^x </math>
* <math>(\log_a x)'=\frac{1}{x\log a} </math>
*:特に、<math>(\log x)'=\frac{1}{x} </math>
* <math>\left(\sin x\right)'=\cos x </math>
* <math>\left(\cos x\right)'=-\sin x </math>
* <math>\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2 x} </math>
* <math>\left( x^x \right)'=x^x \left( 1+\log x\right) </math>
==== 積分 ====
* <math>\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx </math>
* <math>\int_a^b f(x(t))\cdot \frac{dx}{dt}\,dt = \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx </math>
*:ただし、''t'' = ''a'', ''b'' のとき、それぞれ ''x'' = α, β。
* <math>\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx </math>
*:ただし、<math>[h(x)]_a^b = h(b) - h(a)</math> と略記。
*:別の表現：<math>\int_a^b f(x)\,dg(x) = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b g(x)\,df(x)</math>
* <math>\left(\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right)^2 \leq \left(\int_a^b f(x)^2\,dx\right)\left(\int_a^b g(x)^2\,dx\right) </math>（コーシー・シュワルツの不等式）
== 確率・統計 ==
=== 順列・組合せ ===
* 異なる''n''個から''r''個を取る順列：
*:<math>{}_n{\rm P}_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} </math>
** 異なる''n''個から''r''個を取るとき、重複を許す場合の順列（重複順列）：
**:<math>\displaystyle n^r = {}_n{\rm \Pi}_r </math>
*''n''個のもののうち、''p<sub>1</sub>''個は同じもの、''p<sub>2</sub>''個は別の同じもの、''p<sub>3</sub>''個はさらに別の同じもの、……であるとき、これら''n''個のもの全部で作られる順列:
*:<math> \frac{n!}{p_1! p_2! p_3! \cdots p_k!}</math> ただし、''n''=''p<sub>1</sub>'' + ''p<sub>2</sub>'' + ''p<sub>3</sub>''+ … +''p<sub>k</sub>''
* 異なる''n''個のものを円形に並べる順列（円順列）:
*:<math>\displaystyle (n-1)! </math>
* 異なる''n''個から''r''個を取る組合せ：
*:<math>{}_n{\rm C}_{r} = {n\times (n-1)\times\cdots\times(n-r+1) \over r\times(r-1)\times\cdots\times 1} = \frac{n!}{r!(n-r)!} </math>
** 異なる''n''個から''r''個を取るとき、重複を許す場合の組合せ（重複組合せ）：
**:<math>\displaystyle {}_{n+r-1}{\rm C}_{r} = {}_n{\rm \Eta}_r </math>
=== 確率 ===
* Aが起こらない確率（Aの余事象が起きる確率）<math>P( \bar A )</math>:
*:<math>P(\bar{A}) = 1 - P(A) </math>
* 事象A,Bが同時に起きる（すなわち積事象<math>A \cap B</math>の）確率:
*:<math>\displaystyle P(A \cap B)=P(A\mid B) P(B) </math>
** 特に事象A,Bが独立、すなわち<math>P(A\mid B)=P(A)</math>のとき:
**:<math>\displaystyle P(A \cap B)=P(A)P(B) </math>
* 事象AまたはBが起きる（すなわち和事象<math>A \cup B</math>の）確率:
*:<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) </math>
** 特に事象A, Bが排反、すなわち<math>P(A \cap B)=0</math>のとき:
**:<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) </math>
* 確率''p''で事象Aが起こる試行を独立に''n''回行うとき、事象Aがちょうど''r''回起こる確率(反復試行の確率):
*:<math>\displaystyle {}_n{\rm C}_{r}p^r(1-p)^{n-r} </math>
=== 平均値・分散・標準偏差 ===
以下、この節では度数分布表の階級値を<math>x_1 , x_2 , \cdots , x_n</math>とし、それに対応する度数を<math>f_1 , f_2 , \cdots , f_n</math>、総度数を''N''とする。
* 度数分布表からの平均値<math>\overline{x}</math>:
*:<math>\overline{x} =\frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \cdots + x_n f_n}{N}</math>
** また、このときの分散<math>s^2</math>と標準偏差''s'':
**:<math>s^2 =\frac{( x_1 - \overline{x} )^2 f_1 + ( x_2 - \overline{x} )^2 f_2 + \cdots + ( x_n - \overline{x} )^2 f_n}{N}</math>
**:<math>s = \sqrt{\frac{( x_1 - \overline{x} )^2 f_1 + ( x_2 - \overline{x} )^2 f_2 + \cdots + ( x_n - \overline{x} )^2 f_n} N}</math>
549 ⟶ 550行目:
*ある階級値を仮平均''a''とし、階級の幅を''c''、仮平均からの偏差を''c''で割った数値を<math>u_k</math>とする (すなわち<math>u_k= \frac{x_k - a}{c}</math> <math>(k=1,2,\cdots,n)</math>)ときの平均値<math>\overline{x}</math>:
*:<math>\overline{x}=a +c\overline{u}</math> ただし、<math>\overline{u}=\frac{u_1 f_1 + u_2 f_2 + \cdots + u_n f_n}{N}</math>
** また、このときの標準偏差''s'':
**:<math>s = cs_u</math> ただし、<math>s_u^2 = \frac{( u_1 - \overline{u} )^2 f_1 + ( u_2 - \overline{u} )^2 f_2 + \cdots + ( u_n - \overline{u} )^2 f_n}{N} </math>
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