統計学基礎/確率分布/連続変数

一様分布編集

  • 確率密度関数

  を満たす定数とする。 を満たす に対し、

 

と定める。このとき、

 

を満たすので、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、一様分布という。

  • 期待値

期待値E(X)は、

 

である。

  • 分散

分散V(X)は、

 

である。

正規分布編集

  • 確率密度関数

実数 に対し、

 

と定める。このとき

 

とすると

 

であり、 と極座標変換すると なので、

 

である。 であることと併せて、 であることがわかる。すなわち、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、(標準)正規分布という。

  • 期待値

期待値E(X)は、

 

である。

  • 分散

分散V(X)は、

 

である。

ガンマ分布編集

  • 確率密度関数

 を正の定数とする。正の数 に対し、

 

と定める。ただし、 ガンマ関数である。このとき、

 

であるから、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ガンマ分布という。

  • 期待値

期待値E(X)は、

 

である。

  • 分散

分散V(X)は、

 

である。

ベータ分布編集

  • 確率密度関数

 を正の定数とする。 を満たす に対し、

 

と定める。ただし、 ベータ関数である。このとき、

 

であるから、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ベータ分布という。

  • 期待値

期待値E(X)は、

 

であるから、これを整理すると

 

が得られる。

  • 分散

分散V(X)は、

 

であるから、これを整理すると

 

が得られる。

指数分布編集

  • 確率密度関数

 を正の定数とする。正の数 に対し、

 

と定めると、

 

なので、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、指数分布という。

  • 期待値

期待値E(X)は、

 

である。

  • 分散

分散V(X)は、

 

である。

カイ二乗分布編集

  • 確率密度関数

 を正整数の定数とする。正の数 に対し、

 

と定める。ただし、 ガンマ関数である。このとき、

 

なので、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、カイ二乗分布という。

  • 期待値

期待値E(X)は、

 

である。

  • 分散

分散V(X)は、

 

である。

t分布編集

  • 確率密度関数

 を4以上の自然数とする。実数 に対して、

 

と定める。ただし、 ガンマ関数である。このとき、 と置換すると なので、

 

である。ただし、途中補遺で導いた式

 

 とした式を用いた。この計算より、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、t分布という。

  • 期待値

期待値E(X)は、

 

である。

  • 分散

分散V(X)は、

 

である。ここで、 とおくと、 であり、 より である。また、 である。よって、

 

である。ただし、途中補遺で導いた式

 

 とした式を用いた。

F分布編集

  • 確率密度関数

 を正整数の定数とし、特に は4より大きいとする。正の数 に対し、

 

と定める。ただし、 ベータ関数である。

このとき、 と置くと、 であり、 であることに注意すると、

 

なので、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、F分布という。

  • 期待値

期待値E(X)は、

 

である。ここで、先ほどの置換をすると

 

であることに注意すると、

 

である。

  • 分散

分散V(X)は、

 

である。同様に、先ほどの置換をすると

 

である。

パレート分布編集

  • 確率密度関数

  の定数とする。 を満たす実数 に対し、

 

と定めると、

 

なので、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、パレート分布という。

  • 期待値

期待値E(X)は、

 

である。

  • 分散

分散V(X)は、

 

である。

補遺:ガンマ関数とベータ関数編集

  • ガンマ関数

正の数 に対して、積分

 

ガンマ関数という。

ガンマ関数について、

 

が成り立つ。このことと、

 

であることを合わせると、自然数 に対しては

 

であることがわかる。

  • ベータ関数

正の数 に対して、積分

 

ベータ関数という。

  • ガンマ関数とベータ関数の関係

ガンマ関数とベータ関数の間には、

 

という関係式が成り立つ。

(証明)
両辺ともに
 
という積分と等しくなることを示す。
ベータ関数について、
 
において とすると であるから、
 
である。
ガンマ関数について、
 
において、 と変数変換すると、 であるから、
 
である。ここでさらに とすると、 であるから、
 
であることがわかるので、以上より
 
である。//