を を満たす定数とする。 を満たす に対し、
-
と定める。このとき、
-
を満たすので、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、一様分布という。
期待値E(X)は、
-
である。
分散V(X)は、
-
である。
実数 に対し、
-
と定める。このとき
-
とすると
-
であり、 と極座標変換すると なので、
-
である。 であることと併せて、 であることがわかる。すなわち、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、(標準)正規分布という。
期待値E(X)は、
-
である。
分散V(X)は、
-
である。
を正の定数とする。正の数 に対し、
-
と定める。ただし、 はガンマ関数である。このとき、
-
であるから、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ガンマ分布という。
期待値E(X)は、
-
である。
分散V(X)は、
-
である。
を正の定数とする。 を満たす に対し、
-
と定める。ただし、 はベータ関数である。このとき、
-
であるから、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ベータ分布という。
期待値E(X)は、
-
であるから、これを整理すると
-
が得られる。
分散V(X)は、
-
であるから、これを整理すると
-
が得られる。
を正の定数とする。正の数 に対し、
-
と定めると、
-
なので、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、指数分布という。
期待値E(X)は、
-
である。
分散V(X)は、
-
である。
を正整数の定数とする。正の数 に対し、
-
と定める。ただし、 はガンマ関数である。このとき、
-
なので、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、カイ二乗分布という。
期待値E(X)は、
-
である。
分散V(X)は、
-
である。
を4以上の自然数とする。実数 に対して、
-
と定める。ただし、 はガンマ関数である。このとき、 と置換すると なので、
-
である。ただし、途中補遺で導いた式
-
で とした式を用いた。この計算より、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、t分布という。
期待値E(X)は、
-
である。
分散V(X)は、
-
である。ここで、 とおくと、 であり、 より である。また、 である。よって、
-
である。ただし、途中補遺で導いた式
-
で とした式を用いた。
を正整数の定数とし、特に は4より大きいとする。正の数 に対し、
-
と定める。ただし、 はベータ関数である。
このとき、 と置くと、 であり、 であることに注意すると、
-
なので、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、F分布という。
期待値E(X)は、
-
である。ここで、先ほどの置換をすると
-
であることに注意すると、
-
である。
分散V(X)は、
-
である。同様に、先ほどの置換をすると
-
である。
を の定数とする。 を満たす実数 に対し、
-
と定めると、
-
なので、この は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、パレート分布という。
期待値E(X)は、
-
である。
分散V(X)は、
-
である。
正の数 に対して、積分
-
をガンマ関数という。
この積分は広義積分であるから、収束性を確認しておこう。 のそれぞれが収束することを示せばよい。 については、 において より であり、 であるから、 は収束する。 については、 であることに注意すると、ある正の数 が存在して において であるから、 であり、 であるから、 は収束する。
ガンマ関数について、
-
が成り立つ。このことと、
-
であることを合わせると、自然数 に対しては
-
であることがわかる。
正の数 に対して、積分
-
をベータ関数という。
この積分は一見すると通常の積分であるが、 または のときは端点での値が発散するので広義積分である。収束性を確認しておこう。 のそれぞれが収束することを示せばよい。 については、 において より であり、 であるから、 は収束する。 については、 において より であり、 であるから、 は収束する。
ガンマ関数とベータ関数の間には、
-
という関係式が成り立つ。
- (証明)
- 両辺ともに
-
- という積分と等しくなることを示す。
- ベータ関数について、
-
- において とすると であるから、
-
- である。
- ガンマ関数について、
-
- において、 と変数変換すると、 であるから、
-
- である。ここでさらに とすると、 であるから、
-
- であることがわかるので、以上より
-
- である。//
ここで、得られた関係式に を代入してみよう。すると、左辺、右辺はそれぞれ
-
-
であり、これは大学受験数学でおなじみの1/6公式そのものである。他にも、
- とすると
- とすると
なども、大学受験対策の公式として暗記した人もいるかもしれない。本節で示した関係式は、これらの公式を一般化したものといえるものである。