統計学基礎/確率分布/離散変数

二項分布編集

  • 確率質量関数

1 回の試行で得られる結果が、α、β の2種類あるとする。 ここで1回の試行で α が得られる確率を θ とする。

n 回試行した時に α が k 回出る確率を f(k) とすると、

 

と表すことができる。この分布を二項分布という。ただし、

 

は n 個から k 個を選ぶ組合せの数(二項係数)である。二項分布という名前は、この二項係数にちなんでいる。
また n, θ (および1-θ)は定数である。このようなパラメータのことを母数という。θを母比率という。n,θが与えられれば,この分布は確定するので、この分布を B(n,θ) と表す。

この は、二項定理により

 

を満たすので、確かに確率質量関数となっている。

  • 期待値

期待値 E(X)は、

 

である。

  • 分散

分散 V(X)は

 

である。

負の二項分布編集

  • 確率質量関数

 を自然数の定数とし、  を満たす実数の定数とする。0以上の整数 に対し、

 

と定める。ただし、 は二項係数である。ここで、級数

 

の両辺を 階微分すると、

 

であるから、両辺に を代入して をかけると、

 

を得る。すなわちこの は確率質量関数である。この確率質量関数によって定まる確率分布を、負の二項分布という。

  • 期待値

期待値 E(X)は、

 

であるから、これを整理すると、

 

を得る。

  • 分散

分散 V(X)は、

 

であるから、これを整理すると、

 

を得る。

ポアソン分布編集

  • 確率質量関数

 を正の定数とする。0以上の整数 に対し、

 

と定める。このとき、

 

を満たすので、この は確率質量関数である。この確率質量関数によって定まる確率分布を、ポアソン分布という。

  • 期待値

期待値 E(X)は、

 

である。

  • 分散

分散 V(X)は、

 

である。

超幾何分布編集

  • 確率質量関数
  • 期待値
  • 分散