線型代数学/固有値と固有ベクトル

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ある線型変換 $\ f$ に対して、$\ f(\mathbf {v} )=\alpha \mathbf {v}$　のような元$\mathbf {v}$が見つかれば、この線型変換は扱いやすくなる。このページでは、このような$\ \alpha ,\mathbf {v}$（固有値・固有ベクトル）について議論をする。

せん断写像と言う種類の線形写像でモナリザの絵を変換した。このとき赤のベクトルは方向を変えたが、青のベクトルは変換後も方向を変えていない。この青のベクトルが固有ベクトルである。

注意 ここから先の議論は全て複素数体 $\mathbb {C}$ 上の議論である。

はじめに

本題に入る前にまず次の定理を認めてもらいたい。

定理（代数学の基本定理）

複素数係数の任意のn次多項式

$\ f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}$

は重複度も含めてn個の複素数の根を持つ。

証明は複素解析学#リウヴィルの定理を参照のこと。

固有値・固有ベクトル

まず、このページの初めに書いたことを正確に定義しよう。

定義

$\ V:\mathbb {C}$ 上の線型空間、$\ f\in \ End(V)$ とする。

このとき、$\mathbf {v} \in \ V(\mathbf {v} \neq \mathbf {0} ),\alpha \in \mathbb {C}$ が

$\ f(\mathbf {v} )=\alpha \mathbf {v}$

の関係をみたすとき、$\ \alpha$ を固有値 （eigen value）、$\mathbf {v}$ を固有ベクトル （eigen vector）という。

では、どのようにして固有値や固有ベクトルを求めたらよいだろうか？ まずは、$\mathbb {C} ^{n}$の線型変換である行列について考えてみよう。

行列の場合

まず、固有多項式を次のように定義する。

固有多項式

定義 $A\in \ M(n,\mathbf {K} )$に対して

$\Phi _{A}(t)=\det(A-tI_{n})=\pm (t-\alpha _{1})^{\nu _{1}}(t-\alpha _{2})^{\nu _{2}}\cdots (t-\alpha _{r})^{\nu _{r}}$

を$\ A$ の固有多項式 （eigen polynomial）という。また、$\nu _{i}(1\leq i\leq r)$ を　$\alpha _{i}\in \mathbb {C}$ の重複度 （multiplicity）という。

2番目の等式は代数学の基本定理より成り立つ。

すると、次の定理が成り立つ。

定理

$\ \alpha$ が固有値　$\Leftrightarrow \ \alpha$ は固有多項式の根

（証明）

$\ A\in \ M(n;\mathbf {K} )$ に対して、$\ \alpha \in \mathbb {C}$ が固有値であるとする。このとき、

$\ A\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x}$

をみたす、$\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$ が存在する。

上の式を書き直すと、 $(\ A-\alpha I_{n})\mathbf {x} =\mathbf {0}$ であるから、$(\ A-\alpha I_{n})$ の階数がｎより小さいということと同値である。

つまり、$\ \det(\ A-\alpha I_{n})=0$ でなければならない。

以上をまとめると、

$\ \alpha$ が固有値　$\Longleftrightarrow (A-\alpha I_{n})\mathbf {x} =\mathbf {0}$ が非自明な解をもつ。 $\Longleftrightarrow \ rank(\ A-\alpha I_{n})<n\Longleftrightarrow \det(A-\alpha I_{n})=0$ □

例

行列$A$によって引き起こされる線形変換。

行列$A={\bigl (}{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}$の固有値と固有ベクトルを求める。右の図はこの行列によって引き起こされる変換を示している。この行列$A$の固有値と固有ベクトルを求める。

$|A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-4\lambda +3=(\lambda -1)(\lambda -3)$

なので、方程式$(\lambda -1)(\lambda -3)=0$を解いて、行列$A$の固有値は1と3である。

次に固有ベクトルを求める。固有ベクトルを求めるには、$(A-\lambda I)\mathbb {x} =0$を満たすベクトル$\mathbb {x}$を求めれば良い。

$\lambda =1$に対応する固有ベクトルは、$A-I={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$であることから、${\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}\mathbb {x} =0$を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは$\mathbb {x} ={\binom {1}{-1}}$及び、これを任意の定数倍したものである。

$\lambda =3$に対応する固有ベクトルは、$A-3I={\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$であることから、${\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\mathbb {x} =0$を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは$\mathbb {x} ={\binom {1}{1}}$及び、これを任意の定数倍したものである。

右の図では、紫のベクトルは、固有値1に対応する固有ベクトル${\binom {1}{-1}}$に平行なベクトルである。青のベクトルは、固有値3に対応する固有ベクトル${\binom {1}{1}}$に平行なベクトルである。紫のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さも変わっていない。青のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さは3倍になっている。固有ベクトルではない赤のベクトルは、変換された後、方向を変えている。

次に、固有空間を以下のように定義する。

固有空間

定義 $\ A\in \ M(n;\mathbf {K} )$ の$\alpha \in \mathbb {C}$ に対する固有空間 （eigen space）とは

$E(\alpha )=(\mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}|(A-\alpha I_{n})\mathbf {x} =\mathbf {0} )=\ker(A-\alpha I_{n})$

で表わされる部分空間のことである。

この定義から明らかなように、

$\ \alpha$ が固有値　$\Longleftrightarrow \ E(\alpha )$ は$\mathbf {0}$ でない元を持ち、それらはすべて固有ベクトル

である。

一般の線型変換の場合

$\ V:\mathbb {C}$ 上の線型空間、$<\mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}>$ を$\ V$ の基底、$\ f\in End(V)$ に対して　$\ \alpha$　は固有値であるとする。

また、$<\mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}>$ に対する　$\ f$　の表現行列を $\ A\in \ M(n;\mathbf {K} )$ とする。

このとき、行列の場合と同様に、

$\ f(\mathbf {v} )=\alpha \mathbf {v}$

を充たす$\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ が存在する。$\ V$ の恒等変換（identity transformation）を $\ I_{V}$ とすると、

$\ (f-\alpha I_{V})(\mathbf {v} )=\mathbf {0}$

と変形できる。これは、$\ rank(f-\alpha I_{V})<n$　と同値である。$\ (f-\alpha I_{V})$ の表現行列は　$\ A-\alpha I_{n}$　であるから、 $\ rank(\ A-\alpha I_{n})<n$

以上より、$\ f$ の固有値は$\ A$ の固有多項式の根であることがわかる。

また、正則行列$\ P\in \ M(n;\mathbf {K} )$ に対して

$\ \det(A-tI_{n})=\det(A-tI_{n})\det(P)\det(P^{-1})=\det(P^{-1})\det(A-tI_{n})\det(P)=\det(P^{-1}AP-tI_{n})$

より、固有多項式は$\ V$ の基底の取り方によらない。

固有空間

固有空間も行列の場合と同様に定義される。

定義 $\ f\in \ End(V)$ の$\alpha \in \mathbb {C}$ に対する固有空間とは

$E(\alpha )=(\mathbf {v} \in V|(f-\alpha I_{V})\mathbf {v} =\mathbf {0} )=\ker(f-\alpha I_{V})$

で表わされる部分空間のことである。

固有空間の和

最後に、次の命題を証明しておく。

命題

$\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{r}$ は $\ A\in \ M(n;\mathbf {K} )$ の相異なる固有値とする。このとき、

$\ E(\alpha _{1})+E(\alpha _{2})+\cdots +E(\alpha _{r})=\ E(\alpha _{1})\oplus E(\alpha _{2})\oplus \cdots \oplus E(\alpha _{r})$

（証明）

$\mathbf {x} _{i}\in \ E(\alpha _{i})(1\leq i\leq r)$ は　$\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{r}=\mathbf {0}$　をみたすとする。

この等式に、$\ f,\ f^{2},\cdots ,\ f^{r-1}$ を作用させると、

${\begin{pmatrix}1&1&\cdots &1\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{1}^{r-1}&\alpha _{2}^{r-1}&\cdots &\alpha _{r}^{r-1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}\\\mathbf {x} _{2}\\\vdots \\\mathbf {x} _{r}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {0} \\\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \\\end{pmatrix}}$

左辺の行列の行列式はVanDermondの行列式なので、

$\det {\begin{pmatrix}1&1&\cdots &1\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{1}^{r-1}&\alpha _{2}^{r-1}&\cdots &\alpha _{r}^{r-1}\\\end{pmatrix}}=\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})\neq 0$

したがって、この行列は正則。

よって、$\mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{2}=\cdots =\mathbf {x} _{r}=\mathbf {0}$ □