線型代数学/線形写像

線型変換

単位ベクトル

次の2つの2次元ベクトルを、R²の単位ベクトル（unit vector）という。

$\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}}$,　 $\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\\end{pmatrix}}$

また、次の3つの3次元ベクトルをR³の単位ベクトルという。

$\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}$,　 $\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}$,　 $\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}}$

平面上の任意の点の位置ベクトルは、二次元の単位ベクトルを適当にスカラー倍して足し合わせることで表現できる。 三次元の空間上の点についても同様に、三次元の単位ベクトルで表現できる。また、この表現の仕方は一意的である。 このような性質を指して、単位ベクトルの組はR²(R³)の基底（basis）であるという。

R²の線型変換

行列とは、4個の実数を正方形に並べた表、

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$　　　　　　(6.1)

のことである。同時に行列

$B={\begin{pmatrix}p&q\\r&d\\\end{pmatrix}}$との掛け算を

$BA={\begin{pmatrix}ap+cq&bp+dq\\ar+cs&br+ds\\\end{pmatrix}}$

対してベクトル $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}$

との掛け算は、

$\mathbf {x} '=A\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\\\end{pmatrix}}$

と、定義する。さて、行列とベクトルとの積は、位置ベクトルxの点Pが、行列Aをかけることによって 位置ベクトルx'の点P'に変換されたと見ることができる。

例えば、

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$

は、点Pを、x軸に関して線対称な点P'への変換である。これをx軸に関する折り返しと言う。

　次に、行列Aによって点Pを変換したあと、さらに行列Bで変換することよって点Pを点P''(位置ベクトルx'')に移そう。

$\mathbf {x} ''=B(A\mathbf {x} )=B\mathbf {x} '={\begin{pmatrix}p&q\\r&s\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(ap+cq)x+(bp+dq)y\\(ar+cs)x+(br+ds)y\\\end{pmatrix}}$

　　　 $=(AB)\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ap+cq&bp+dq\\ar+cs&br+ds\\\end{pmatrix}}\mathbf {x}$

よって、x=B(Ax)=(BA)x

行列A,B,C,ベクトルx,y,数cに関して次の性質が成り立つ。

A(BC)=(AB)C

${\begin{cases}A(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=A\mathbf {x} +A\mathbf {y} )\\A(c\mathbf {x} )=(Ac)\mathbf {x} \end{cases}}$　　　　　(6.2)

特に、(6.2)は重要で、これを行列Aによって引き起こされるR²の変換T_A:x→Ax(「T_AはxのAxへの変換」と言う意味）の線型性（linearity）と言う。一般にR²変換Tが、次の性質を満たすとき、TをR²の線型変換（linear transformation）という。

${\begin{cases}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=T\mathbf {x} +T\mathbf {y} \\T(c\mathbf {x} )=c(T\mathbf {x} )\end{cases}}$

一般に次の定理が成り立つ。

定理(6.1)

TをR²上の変換とするとき、

Tが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax

(証明) $\Leftarrow$は既に示した。$\Rightarrow$を示す。

単位ベクトルの行き先だけ調べれば十分である。（その理由は別のところで述べる）

$T\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}a\\c\\\end{pmatrix}}$　 $T\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}b\\d\\\end{pmatrix}}$とする。

任意の$\mathbf {x} =x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}$

Tは線型変換なので、

$T\mathbf {x} =T(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2})=xT\mathbf {e} _{1}+yT\mathbf {e} _{2}=x{\begin{pmatrix}a\\c\\\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}b\\d\\\end{pmatrix}}$

　　$={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}$

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$とすれば、

Tx=Ax　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　♯

Aによって引き起こされる変換をT_Aと書くこともある。

行列の成分a、b、c、dの値が全て0の行列は、全てのベクトルをoに移す変換であり、対応する行列を零行列（ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）といい、特にOと書く。

• 
  写像 ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ を ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ で与える。この写像は線形写像である。 この写像はベクトルの ${\textstyle x}$ 成分を ${\textstyle 2}$倍にする。
• 
  写像 ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ について ${\textstyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$ が成り立つ。
• 
  写像 ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ について ${\textstyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}$ が成り立つ。

例

全ての点を反時計回りにα回転させる変換は線型変換であり、回転行列（rotation matrix）と呼ばれる。対応する行列は

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{pmatrix}}$である。

演習

1.原点に対する対象変換は線型変換である。この変換に対応する行列を求めよ

2.T_BT_A=T_BAを示せ。

3.

　Txをxのaへの正射影とする。この時Tを射影子と言う。射影子は線型変換である。この時

　$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}$　 $a^{2}+b^{2}=1$ とすると、Tに対応する行列を求めよ

4.

　(a,b)=0,a,b≠o

　S:aへの射影子,　　T:bへの射影子

　とする。この時次の三つを証明せよ。

　(1)T^2=S　(2)TS=ST=O　(3)任意のxに対して、Tx+Sx=x

R³の線型変換

前部で定義した行列の概念を広げよう。すなわち、9個の実数の表

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\\end{pmatrix}}$

も行列と言う事にして、前部で定義した行列を二次の行列と、今ほど定義した行列を三次の行列といって区別することにする。

ベクトルとの積、行列同士の積も同様に定義される。したがって、

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}$に対しては、 $A\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}a_{1,1}x+a_{1,2}y+a_{1,3}z\\a_{2,1}x+a_{2,2}y+a_{2,3}z\\a_{3,1}x+a_{3,2}y+a_{3,3}z\\\end{pmatrix}}$が、

$B={\begin{pmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&b_{1,3}\\b_{2,1}&b_{2,2}&b_{2,3}\\b_{3,1}&b_{3,2}&b_{3,3}\\\end{pmatrix}}$と $AB={\begin{pmatrix}c_{1,1}&c_{1,2}&c_{1,3}\\c_{2,1}&c_{2,2}&c_{2,3}\\c_{3,1}&c_{3,2}&c_{3,3}\\\end{pmatrix}}$にたいしては、

$c_{k,j}=\sum _{i=1}^{3}a_{k,i}b_{i,j}$(i,j=1,2,3)

が定義されている。次のような性質がある。

(AB)x=A(Bx),　(AB)C=A(BC)

A(x+y)=Ax+By,　A(cx)=(Ac)x　　　　　(6.3)

R³における線形変換Tは次の性質を持つ変換である。

T(x+y)=T(x)+T(y) T(cx)=c(Tx)

前部とまったく同様に次の定理が導ける

定理(6.2)

　R³においてTが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax

Aによって引き起こされる変換をT_Aと書くことがある。行列の成分が全て0の行列は、すべてのベクトルをoに線形変換する行列であり、これを零行列（ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）といい、Oと書く。

例

　y軸を中心にα回転させる変換に対応する変換は

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&-\sin \alpha \\0&1&0\\\sin \alpha &0&\cos \alpha \\\end{pmatrix}}$

演習

1.定理(6.2)を証明せよ

2.次の行列が引き起こす変換はどんな変換か

　(1)${\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$　 (2)${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$　 (3)${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

3.

　$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}}$,　$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

　この時、aへの射影子に対応する行列を求めよ。

4.

　bとcの張る平面に、その平面上に無い点P(位置ベクトルx)から垂線を下ろす。その足をP'（位置ベクトルx')とするとき、x'をxの正射影、Tx:　x→x'をb,cの張る平面への射影子と言う。さて、今a,b,cが直交しているとしよう。xのaへの射影子をS,xのb,cの張る平面への射影子をTとするとき、次の事柄を証明せよ

　(1)T²=T　(2)TS=ST=O　(3)任意のxにたいし、Tx+Sx=x