メインメニューを開く

線型変換編集

単位ベクトル編集

次の2つの2次元ベクトルを、R2の単位ベクトル(unit vector)という。

 ,   

また、次の3つの3次元ベクトルをR3の単位ベクトルという。

 ,   ,   

平面上の任意の点の位置ベクトルは、二次元の単位ベクトルを適当にスカラー倍して足し合わせることで表現できる。 三次元の空間上の点についても同様に、三次元の単位ベクトルで表現できる。また、この表現の仕方は一意的である。 このような性質を指して、単位ベクトルの組はR2(R3)の基底(basis)であるという。

R2の線型変換編集

行列とは、4個の実数を正方形に並べた表、

       (6.1)

のことである。同時に行列

 との掛け算を

 

対してベクトル  

との掛け算は、

 

と、定義する。さて、行列とベクトルとの積は、位置ベクトルxの点Pが、行列Aをかけることによって 位置ベクトルx'の点P'に変換されたと見ることができる。

例えば、

 

は、点Pを、x軸に関して線対称な点P'への変換である。これをx軸に関する折り返しと言う。

 次に、行列Aによって点Pを変換したあと、さらに行列Bで変換することよって点Pを点P''(位置ベクトルx'')に移そう。

 

     

よって、x=B(Ax)=(BA)x

行列A,B,C,ベクトルx,y,数cに関して次の性質が成り立つ。

A(BC)=(AB)C

      (6.2)

特に、(6.2)は重要で、これを行列Aによって引き起こされるR2の変換TA:x→Ax(「TAxのAxへの変換」と言う意味)の線型性(linearity)と言う。一般にR2変換Tが、次の性質を満たすとき、TをR2の線型変換(linear transformation)という。

 

一般に次の定理が成り立つ。


定理(6.1)

TをR2上の変換とするとき、

Tが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax


(証明)  は既に示した。 を示す。

単位ベクトルの行き先だけ調べれば十分である。(その理由は別のところで述べる)

    とする。

任意の 

Tは線型変換なので、

 

   

 とすれば、

Tx=Ax                        ♯

Aによって引き起こされる変換をTAと書くこともある。

行列の成分a、b、c、dの値が全て0の行列は、全てのベクトルをoに移す変換であり、対応する行列を零行列(ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix)といい、特にOと書く。

全ての点を反時計回りにα回転させる変換は線型変換であり、回転行列(rotation matrix)と呼ばれる。対応する行列は

 である。


演習

1.原点に対する対象変換は線型変換である。この変換に対応する行列を求めよ

2.TBTA=TBAを示せ。

3.

 Txxaへの正射影とする。この時Tを射影子と言う。射影子は線型変換である。この時

      とすると、Tに対応する行列を求めよ

4.

 (a,b)=0,a,bo

 S:aへの射影子,  T:bへの射影子

 とする。この時次の三つを証明せよ。

 (1)T^2=S (2)TS=ST=O (3)任意のxに対して、Tx+Sx=x

R3の線型変換編集

前部で定義した行列の概念を広げよう。すなわち、9個の実数の表

 

も行列と言う事にして、前部で定義した行列を二次の行列と、今ほど定義した行列を三次の行列といって区別することにする。

ベクトルとの積、行列同士の積も同様に定義される。したがって、

 に対しては、  が、

  にたいしては、

 (i,j=1,2,3)

が定義されている。次のような性質がある。

(AB)x=A(Bx), (AB)C=A(BC)


A(x+y)=Ax+By, A(cx)=(Ac)x     (6.3)

R3における線形変換Tは次の性質を持つ変換である。

T(x+y)=T(x)+T(y) T(cx)=c(Tx)

前部とまったく同様に次の定理が導ける

定理(6.2)

 R3においてTが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax

Aによって引き起こされる変換をTAと書くことがある。行列の成分が全て0の行列は、すべてのベクトルをoに線形変換する行列であり、これを零行列(ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix)といい、Oと書く。

 y軸を中心にα回転させる変換に対応する変換は

 

演習

1.定理(6.2)を証明せよ

2.次の行列が引き起こす変換はどんな変換か

 (1)   (2)   (3) 

3.

  ,  

 この時、aへの射影子に対応する行列を求めよ。

4.

 bcの張る平面に、その平面上に無い点P(位置ベクトルx)から垂線を下ろす。その足をP'(位置ベクトルx')とするとき、x'xの正射影、Tx: xx'b,cの張る平面への射影子と言う。さて、今a,b,cが直交しているとしよう。xaへの射影子をS,xb,cの張る平面への射影子をTとするとき、次の事柄を証明せよ

 (1)T2=T (2)TS=ST=O (3)任意のxにたいし、Tx+Sx=x