線型代数学/行列と行列式/第三類/内積

中等課程では， ${\vec {a}}$ と ${\vec {b}}$ の内積 ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ を，矢印ベクトル ${\vec {a}}$ と ${\vec {b}}$ のなす角を $\theta$ として，

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta

と定義した．これは平面ベクトルの場合でも，空間ベクトルの場合でもそうだった．また，この式が成分計算では成分ごとの積の和に等しいこと（例えば， ${\vec {a}}=\left({\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\end{array}}\right),{\vec {b}}=\left({\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\end{array}}\right)$ であれば， ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$ ）を、余弦定理などにより示した^[1]．

線形代数では，成分計算の定義の方が先になる．成分で定義しておけば，次元が $4$ 次以上のときベクトルのなす角のことを想像しなくても済む．

定義2 内積と大きさ

$n$ 次元実数ベクトル $\mathbf {a} =\left({\begin{array}{c}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{array}}\right)$ ， $\mathbf {b} =\left({\begin{array}{c}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)$ に関して、内積、大きさを次のように定める．

内積 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ は， $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left({\begin{array}{c}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{n}$ ．…①

$\mathbf {a}$ の大きさ $|\mathbf {a} |$ は， $|\mathbf {a} |={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}$ ．…②

すると， $|\mathbf {a} |^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a}$ が成り立つ．…③

また， $\mathbf {a} \neq 0,\mathbf {b} \neq 0$ である $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ について， $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0$ のとき，「 $\mathbf {a}$ と $\mathbf {b}$ は直交する」といい，「 $\mathbf {a} \bot \mathbf {b}$ 」と書く．

$\blacksquare$

$n=2,3$ のとき， ${\vec {a}}$ の大きさ $|{\vec {a}}|$ は，矢印ベクトルで言えば始点から終点までの長さを表していた． $n$ が $4$ 以上の場合もこれに倣って，同じような成分計算で表された $|\mathbf {a} |$ を大きさというわけである．

こうして定義した内積に関して，次のような計算法則が成り立つ．これも平面ベクトル・空間ベクトルでの経験から納得してもらえるだろう．

定理2 内積の計算法則

$n$ 次元ベクトル $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ と実数 $k$ に関して次が成り立つ．

(1) $(k\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =k(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (k\mathbf {b} )$

(2) $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c}$

(3) $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {c}$

証明

(1) の証明． $(k\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}(ka_{i})b_{i},\quad k(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=k\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},\quad \mathbf {a} \cdot (k\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(kb_{i})$ ．そして $\sum _{i=1}^{n}(ka_{i})b_{i}=k\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(kb_{i})$ より $(k\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =k(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (k\mathbf {b} )$ ．

(2)の証明． $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(b_{i}+c_{i})=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c}$ ．

(3)の証明． $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})c_{i}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}c_{i}+b_{i}c_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {c}$ ．

$\blacksquare$

$0$ でないベクトル $\mathbf {a}$ をその大きさで割ったベクトル ${\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a}$ は，大きさが $1$ になる．

\left|{\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} \right|^{2}=\left({\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} \right)\cdot \left({\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} \right)

^[2]

={\frac {1}{|\mathbf {a} |^{2}}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )

^[3]

={\frac {1}{|\mathbf {a} |^{2}}}|\mathbf {a} |^{2}=1

\therefore \left|{\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} \right|=1

$\pm {\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a}$ のことを単位化したベクトル，あるいは正規化したベクトルという．

平面ベクトルと空間ベクトルでの内積の定義は ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta$ であった．ここで，定義よりも突っ込んだ内積の図形的な意味を確認しておく．

${\vec {a}}=\mathrm {OA} ,{\vec {v}}=\mathrm {OB}$ として図を描く． $\mathrm {A}$ から直線 $\mathrm {B}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm {H}$ とする． $\mathrm {OB}$ を左回りに回転して $\mathrm {OA}$ に重なる角を $\theta$ とする．^[4]

$\mathrm {OB}$ に数直線^[5]を重ね合わせ， $\mathrm {O}$ に数値 $0$ を割り当て目盛りを振ると， $\mathrm {H}$ の目盛りは三角関数の定義から、 $\mathrm {OA} \cos \theta$ となる．

内積の式は，

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=(|a|(\cos \theta )|{\vec {b}}|=(\mathrm {OA} \cos \theta )\mathrm {OB} =(\mathrm {H}

の目盛り

)\times \mathrm {OB}

と見なすことができる．

特に ${\vec {b}}$ が単位ベクトル ${\vec {e}}$ のときを考える． ${\vec {b}}$ をあらためて ${\vec {e}}$ とおく．

$\mathrm {OB} =|{\vec {b}}|=|{\vec {e}}|=1$ だから ${\vec {a}}\cdot {\vec {e}}$ は $\mathrm {H}$ の目盛りを表すことになる． ${\vec {a}}$ と単位ベクトル ${\vec {e}}$ との内積は ${\vec {a}}$ の ${\vec {e}}$ 方向の成分を表している．

定理3 ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ の意味

${\vec {\mathrm {OA} }}={\vec {a}},\quad {\vec {\mathrm {OB} }}={\vec {e}},\quad {\vec {e}}$ は単位ベクトルとする．直線 $\mathrm {OB}$ に重ねた数直線に $\mathrm {A}$ から下ろした垂線の足を $\mathrm {H}$ とすると、

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=(\mathrm {H}

の目盛り）

証明すでに記述した．

$\blacksquare$

^ 平面上の三角形 $\bigtriangleup OAB,A\neq B$ において， ${\vec {OA}}$ と ${\vec {OB}}$ の成す角を $\theta$ と置くとき，
${\vec {OA}}$ と ${\vec {OB}}$ の内積を ${\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}=|{\vec {OA}}||{\vec {OB}}|\cos \theta$ …① と定義する．
このとき余弦定理により $|{\vec {AB}}|^{2}=|{\vec {OA}}|^{2}+|{\vec {OB}}|^{2}-2|{\vec {OA}}||{\vec {OB}}|\cos \theta$ …②
また， ${\vec {OA}}$ の成分表示を ${\vec {OA}}={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}}$ ，同様に ${\vec {OB}}={\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{pmatrix}}$
とすれば，①②をもとに内積 ${\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}$ であることを以下に示す．すなわち

①②より
$|{\vec {AB}}|^{2}=|{\vec {OA}}|^{2}+|{\vec {OB}}|^{2}-2{\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}$
${\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}={\frac {1}{2}}\left(|{\vec {OA}}|^{2}+|{\vec {OB}}|^{2}-|{\vec {AB}}|^{2}\right)$ …③
ここで③の右辺の $|{\vec {OA}}|^{2},|{\vec {OB}}|^{2},|{\vec {AB}}|^{2}$ を成分表示に展開すると、
$|{\vec {OA}}|^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2},\ \ |{\vec {OB}}|^{2}=b_{x}^{2}+b_{y}^{2},\ \ |{\vec {AB}}|^{2}=(a_{x}-b_{x})^{2}+(a_{y}-b_{y})^{2}$
すなわち、
${\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}={\frac {1}{2}}\left\{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+b_{x}^{2}+b_{y}^{2}-(a_{x}-b_{x})^{2}-(a_{y}-b_{y})^{2}\right\}$
$={\frac {1}{2}}\left\{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+b_{x}^{2}+b_{y}^{2}-(a_{x}^{2}+b_{x}^{2}-2a_{x}b_{x}+a_{y}^{2}+b_{y}^{2}-2a_{y}b_{y})\right\}$
$={\frac {1}{2}}\left\{{\cancel {a_{x}^{2}}}+{\cancel {a_{y}^{2}}}+{\cancel {b_{x}^{2}}}+{\cancel {b_{y}^{2}}}-({\cancel {a_{x}^{2}}}+{\cancel {b_{x}^{2}}}-2a_{x}b_{x}+{\cancel {a_{y}^{2}}}+{\cancel {b_{y}^{2}}}-2a_{y}b_{y})\right\}$
$=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}$
^ $(\because$ 定義2③ $)$
^ $\left({\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} \right)\cdot \left({\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} \right)={\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\left(\mathbf {a} \cdot \left({\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} \right)\right)(\because$ 定理2(1)第1項と第2項 $)$ $={\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\left({\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} \right)\right)(\because$ 定理2(1)第2項と第3項 $)$ $={\frac {1}{|\mathbf {a} |^{2}}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )$ （式の整理）
^ 「 ${\vec {a}}$ と ${\vec {b}}$ とのなす角を $\theta$ とする」をより正確に記述した．
^ 「目盛りがついたものさし」のイメージである．

[1] 平面上の三角形 $\bigtriangleup OAB,A\neq B$ において， ${\vec {OA}}$ と ${\vec {OB}}$ の成す角を $\theta$ と置くとき，
${\vec {OA}}$ と ${\vec {OB}}$ の内積を ${\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}=|{\vec {OA}}||{\vec {OB}}|\cos \theta$ …① と定義する．
このとき余弦定理により $|{\vec {AB}}|^{2}=|{\vec {OA}}|^{2}+|{\vec {OB}}|^{2}-2|{\vec {OA}}||{\vec {OB}}|\cos \theta$ …②
また， ${\vec {OA}}$ の成分表示を ${\vec {OA}}={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}}$ ，同様に ${\vec {OB}}={\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{pmatrix}}$
とすれば，①②をもとに内積 ${\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}$ であることを以下に示す．すなわち

①②より
$|{\vec {AB}}|^{2}=|{\vec {OA}}|^{2}+|{\vec {OB}}|^{2}-2{\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}$
${\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}={\frac {1}{2}}\left(|{\vec {OA}}|^{2}+|{\vec {OB}}|^{2}-|{\vec {AB}}|^{2}\right)$ …③
ここで③の右辺の $|{\vec {OA}}|^{2},|{\vec {OB}}|^{2},|{\vec {AB}}|^{2}$ を成分表示に展開すると、
$|{\vec {OA}}|^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2},\ \ |{\vec {OB}}|^{2}=b_{x}^{2}+b_{y}^{2},\ \ |{\vec {AB}}|^{2}=(a_{x}-b_{x})^{2}+(a_{y}-b_{y})^{2}$
すなわち、
${\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}={\frac {1}{2}}\left\{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+b_{x}^{2}+b_{y}^{2}-(a_{x}-b_{x})^{2}-(a_{y}-b_{y})^{2}\right\}$
$={\frac {1}{2}}\left\{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+b_{x}^{2}+b_{y}^{2}-(a_{x}^{2}+b_{x}^{2}-2a_{x}b_{x}+a_{y}^{2}+b_{y}^{2}-2a_{y}b_{y})\right\}$
$={\frac {1}{2}}\left\{{\cancel {a_{x}^{2}}}+{\cancel {a_{y}^{2}}}+{\cancel {b_{x}^{2}}}+{\cancel {b_{y}^{2}}}-({\cancel {a_{x}^{2}}}+{\cancel {b_{x}^{2}}}-2a_{x}b_{x}+{\cancel {a_{y}^{2}}}+{\cancel {b_{y}^{2}}}-2a_{y}b_{y})\right\}$
$=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}$

[2] $(\because$ 定義2③ $)$

[3] $\left({\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} \right)\cdot \left({\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} \right)={\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\left(\mathbf {a} \cdot \left({\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} \right)\right)(\because$ 定理2(1)第1項と第2項 $)$ $={\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\left({\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} \right)\right)(\because$ 定理2(1)第2項と第3項 $)$ $={\frac {1}{|\mathbf {a} |^{2}}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )$ （式の整理）

[4] 「 ${\vec {a}}$ と ${\vec {b}}$ とのなす角を $\theta$ とする」をより正確に記述した．

[5] 「目盛りがついたものさし」のイメージである．

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]