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線型代数学/計量ベクトル空間

このページでは、2、3次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ(ノルム)や内積を定義する。

2、3次元の数ベクトルの場合は、高等学校数学B ベクトルを参照のこと。

数ベクトルのノルム・内積編集

ノルム編集

ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは||a||で表され、

 

と定義される。これをaのノルム (norm)と言う。

 
 

演習

次のベクトルのノルムを求めよ
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

内積編集

ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。

 

ab内積 (inner product)という。

特に2,3次元空間ベクトルabとの内積は、abのなす角をθとすると、

 

と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。

内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。

  • (a,a)=||a||2
  • abが直交する⇔(a,b)=0[1]
  • c(a,b)=(ca,b)=(a,cb)
  • (a,b+c)=(a,b)+(a,c)
  • (a+b,c)=(a,c)+(b,c)
  • (a,b)=(b,a)
  • ||a||+||b||≧||a+b||(三角不等式)
  • |(a,b)|≦||a||||b||(シュワルツの不等式)
  1. ^ なす角について上で述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。

演習

空間ベクトル

 

とのなす角が であり、かつ

 

とのなす角が であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。

注)そのようなベクトルはただひとつではない。

上の線型空間でのノルム・内積編集

次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。

定義編集

  を   または  上の線型空間とする。(以下、  は一般の体ではなく、実数体  または複素数体  を指すことにする )

  に対して、  の元をかえすような演算 が次の(Ⅰ)(Ⅳ)の性質をみたすとき、 内積という。

(Ⅰ) 
 
(Ⅱ)  
   の複素共役)
(Ⅲ) 
(Ⅳ)  
  が成り立つのは、  のときに限る。

また、

 

で定義される量をxノルムという。

このように、内積が定義された線型空間を計量ベクトル空間計量線型空間)という。

編集

1.  のとき、

 

とすれば、これは内積になっている。

2.  のとき、

 

とすれば、これは内積になっている。(Trについては行列概論を参照)

3. { 上連続な関数} ,  上連続な関数のとき、

 

とすれば、これは内積になっている。

三角不等式・シュワルツの不等式編集

ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。

定理   に対して、次の(1),(2)の不等式が成り立つ。

(1) (シュワルツの不等式)

等号が成り立つのは、 と書ける場合のみ。

(2) 

等号が成り立つのは、実数  を用いて、  と書ける場合のみ。

(証明)(1)  とすると

 

ここで、  とおけば、

 

両辺を   で割り、正の平方根をとれば、

   となる。

等号が成り立つのは、  すなわち、  となるときだから、  と書ける。

逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□

(2) 

したがって、正の平方根をとれば   となる。

1つ目の等号は   が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は   と書けるとき成り立つ。この2つの条件から、実数  を用いて、  と書けるときのみ等号が成立する□

基底の直交化編集

種々の特徴的な変換編集

随伴変換編集

ユニタリ変換と直交変換編集

エルミート変換と対称変換編集