双曲線関数

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双曲線関数とは、次のような形の関数のことです。

 

「sinh」は「ハイパーボリックサイン(hyperbolic sine)」、「cosh」は「ハイパーボリックコサイン(hyperbolic cosine)」の略です。

性質

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双曲線関数には、次のような性質があります。いずれの性質も、 の性質に従って計算すれば簡単に証明できます。

  1. cosh2 x − sinh2 x = 1
  2. sinh(α+β) = sinh α cosh β + cosh α sinh β
  3. cosh(α+β) = cosh α cosh β + sinh α sinh β
  4.  
  5.  

どの性質も、三角関数にとてもよく似ています。このようにとてもよく似た性質を持つことが、三角関数と似た記号を使う理由です。

単位円の上の点の座標は、三角関数を使って と表すことができました。1番の性質から、双曲線関数を使うと双曲線の上の点の座標を と表すことができることがわかります。

使いかた

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置換積分の計算をするときに、三角関数を使うと便利なことがありました。例えば、

 

 という置換によって

 

という簡単な積分に帰着できました。双曲線関数でも同じようなことができます。例として

 

という積分を計算してみましょう。まず、 と置換すると

 

となります。ここから先の計算でも三角関数と同様な公式が使えますし、あるいは直接指数関数の積分として計算してもかまいません。計算してみましょう。答えは

 

です。