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解析学基礎/多変数関数の微積分

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偏微分編集

偏微分の定義編集

  • xでの微分

二変数関数 について、いったんx以外の変数を動かさず、変数xのみで微分したものを   と書き、これを 偏導関数という。 つまり定義は

 

である。このように、多変数関数において、考えている変数(例の場合は )以外をいったん動かさず、一つの変数だけの関数とみて微分することを偏微分(へんびぶん、英:partial differentiation)という。

(なお、 の読みは「ラウンドディー」と読み、 は「ラウンドディーエフ・ラウンドディーエックス」などと読む。)

具体例として二変数関数   の微分を考える。この関数を変数 について偏微分すると   となり、つまり、

 

偏導関数  も二変数関数であることに注意しよう。


  • yでの微分

同様にy以外の変数を動かさず、二変数関数 を変数 のみで微分したものを   と書く。 つまり

 

である。

例の  の場合、変数yでの偏微分は   となる。

もちろん、  は二変数関数である。


高階の偏微分編集

さらに、   を偏微分することを考えよう。  を、さらに で偏微分したものは  と書くか、あるいは   と書く。

  の場合、

計算すると、 


同様に、  とは、  を 変数  で偏微分したものである。   のことを   とも書く。

やはり先ほどの例について計算すると、

 

いっぽう、偏微分の順序を交換した   についても先ほどの例で計算すると、

 

となり、 よって

 

となる。このように、応用上重要になるような「まともな」関数の場合、高階の偏微分の順序を交換しても、結果は変わらない。したがって、記号で書くときの変数の順序には無頓着でも構わない。

  • まともでない例
 

とすると、 なので、 である。

一方、 のとき、

 
 

なので、

 

である。

したがって、

 
 

である。


定理

f(x,y)が点(a,b)にてfxy(x,y)とfyx(x,y)がともに連続ならば、

fxy(a,b)=fyx(a,b)


証明の導入

まず、fxy(a,b)とは、定義にしたがうと

 
 
 

であり、同様に、fyx(a,b)とは、定義にしたがうと

 
 
 

なので、結局は、式   における    の交換を証明するのが、この定理である。

証明

やや天下り的だが、 F=f(a+h,b+k)ーf(a,b+k)ーf(a+h,b)+f(a,b) と置く。

F=f(a+h,b+k)ーf(a,b+k)ーf(a+h,b)+f(a,b)
={ f(a+h,b+k)-f(a+h,b) } - { f(a,b+k)-f(a,b) } = { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) } - { f(a+h,b)-f(a,b) }

である。技巧的だが、上式2段目の2つの式の第2項を参考にそれぞれ、

f(x,b+k)ーf(x,b) = φ(x)
f(a+h,y)ーf(a,y) = ψ(y)

と定義する。

すると、

F = φ(a+h)ーφ(a) = ψ(b+k)ーψ(b)

というふうに、Fを1変数関数に置き換えられるので、1変数における平均値の定理が適用できるようになる。

さて、1変数における平均値の定理を適用すると、

F = φ(a+h)ーφ(a) = h φ(a+θ1h)

なお、 0 < θ1 < 1 である。

と書ける。

φ(x) とは、f(x,b+k)-f(x,b) = φ(x) の定義より意味的に考えて、 φ(x) =fx(x,b+k)ーfx(x,b) である。

なので

F = φ(a+h)ーφ(a) = h φ(a+θ1h) = h { fx(a+θ1h,b+k)ーfx(a+θ1h,b) }

今度は、 fx(a+θ1h,b+k)ーfx(a+θ1h,b) を y(またはb)の関数と考えると、

F = φ(a+h)ーφ(a) = h φ(a+θ1h) = h { fx(a+θ1h,b+k)ーfx(a+θ1h,b) } = hk fxy(a+θ1h,b+θ2k)

いっぽう

F = ψ(b+k)ーψ(b)

と表した場合も、同様の式変形によって、またψ(y)=fy(a+h,y)-fy(a,y) をもちいて、

F = ψ(b+k)ーψ(b) = k ψ(b+θ3k) = k { fy(a+h,b+θ3k)ーfy(a,b+θ3k) } = hk fxy(a+θ4h,b+θ3k)

さて、

F=hk fxy(a+θ1h,b+θ2k) =hk fxy(a+θ4h,b+θ3k)

なので、よって

fxy(a+θ1h,b+θ2k) =fxy(a+θ4h,b+θ3k)

この式について、    の極限をとれば、hとkのどちらを先に0にしようが、

fxy(a,b) =fxy(a,b)

となる。(証明終わり)


  • 参考文献

証明の導入の参考として、

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henbibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/henbibun/henbibun-junnjokoukan.html (金沢工業大学 KIT数学ナビゲーション『偏微分の順序交換』) 、サイト確認日:2016年7月23日

証明中の数式の記法の参考として、

サイエンス社『微分積分概論[新訂版]』、高橋泰嗣 加藤幹雄、2013年11月10日発行、新訂第一版、