解析学基礎/広義積分

区間[a,b]上の連続関数f(x)の定積分 $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ についてはこれまでに述べた通りです。この節では、区間が有限でない場合について述べます。

無限区間の積分

無限区間の積分とは、積分区間の片方の端（あるいは両端）がないものをいいます。このような積分は、たとえばa以上のすべての実数という区間について積分するならば $\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$ のように、 $\infty$ を使って表します。このような積分は、単純に原始関数を見つけて $\infty$ を代入する、などといって計算することはできませんが、極限を用いて積分を書き直せばうまくいきそうです。

\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx

このように書きなおせば、原始関数を見つけて定積分を計算し、積分が収束するかを確かめればよいことがわかります。

\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{b}=\lim _{b\rightarrow \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+1\right)=1

そこで、一般の無限区間の広義積分については、以下のように定義します。

(a) $b\geq a$ となる任意の数bについて $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ が存在するとき

\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx

(b) $a\leq b$ となる任意の数aについて $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ が存在するとき

\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=\lim _{a\rightarrow {-\infty }}\int _{a}^{b}f(x)\,dx

これらの極限が存在するとき積分は収束するといい、存在しないときは発散するといいます。

(c) 同様にして $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx$ を以下のように定義することができます。

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx

ただし、定義できるのはどちらの積分も収束するときです。

例を見てみましょう。 $\int _{0}^{\infty }x\exp(-x^{2})\,dx$ は収束するでしょうか。

\int _{0}^{\infty }x\exp(-x^{2})\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}x\exp(-x^{2})\,dx

$u=-x^{2},dx=-{\frac {du}{2x}}$ と置換を行うと、合成関数の微分法より原始関数を見つけることができ、

\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}x\exp(-x^{2})\,dx=\lim _{b\rightarrow {\infty }}\left[-{\frac {\exp(-x^{2})}{2}}\right]_{0}^{b}=\lim _{b\rightarrow \infty }\left\{{\frac {1}{2}}-{\frac {\exp(-b^{2})}{2}}\right\}={\frac {1}{2}}

よってこの積分は1/2に収束します。

優関数の原理

具体的に原始関数を見つけられない場合でも、広義積分が収束するかどうか判定できれば便利です。そのような判定のために、次の定理が役に立ちます。

定理連続関数 $f(x)$ に対して、 $a\leq x$ において $|f(x)|\leq g(x)$ をみたし、 $\int _{a}^{\infty }g(x)dx$ が収束するような連続関数 $g(x)$ が存在するならば、 $\int _{a}^{\infty }f(x)dx$ は収束する。

この $g(x)$ を $f(x)$ の優関数といいます。

（証明）

\int _{a}^{\infty }g(x)dx=G

とおく。仮定より、 $a\leq t\leq s$ なるt,sに対して

\left|\int _{t}^{s}f(x)dx\right|\leq \int _{t}^{s}|f(x)|dx\leq \int _{t}^{s}g(x)dx

である。よって、 $n\geq a$ なる自然数nに対して $c_{n}=\int _{a}^{n}f(x)dx,d_{n}=G-\int _{a}^{n}g(x)dx$ とすると、非負の値をとる数列 $d_{n}$ は $\lim _{n\to \infty }d_{n}=0$ を満たし、 $n\geq m$ なる自然数mに対して