解析学基礎/微分の応用

微分の使うことで解けるようになる最も典型的な問題は、関数の極値を求める問題である。導関数とは関数の変化率なのであるから、微分可能な関数は、導関数の符号が変わる点で極値を取る。

例題 $y=\cos ^{2}x$の極値を求めよう。

$y'=-2\cos x\sin x$

なので、$y'=0$となるのは

$x={n \over 2}\pi (n\in \mathbb {Z} )$

であり、これらの点ではy'の符号が変わる。よって極値は、

$x={n \over 2}\pi (n\in \mathbb {Z} )$

のとき

$y=0,1$

演習 - 次の関数の極値を求めよ。

1. $y=x^{3}-2x^{2}+x$
2. $y=e^{x}\cos x$