解析学基礎/指数関数と対数関数

指数関数

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定義

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指数が整数のとき

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  のとき、aをn回かけた数を であらわす。すなわち、  である。
また、  とする。

このとき、 は、 のとき単調増加、 のとき単調減少、 のとき定数である。

指数が有理数のとき

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   のとき、 として定義する。

 のとき、
 
であることから、 は、 のとき単調増加、 のとき単調減少、 のとき定数であることがわかる。

指数が実数のとき

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 を無理数とし、 に収束する有理数の単調増加列を とする。アルキメデスの原理より、 より大きい自然数Nが存在する。  とすると、そのようなNと十分大きいnに対し なので、有界で単調な数列 は収束する。 この収束値は、 によらないことを示す。

 を、無理数 に収束する有理数の単調増加列とし(したがって、 )、 とする。任意の に対して、 を満たす自然数Nが存在し、  に収束することから、nを十分大きくとれば、 を満たす。そのようなnに対し、 なので、 である。

この収束値の値を の値として定義する。  についても同様である。また、 のときは と定める。 定義から、指数関数  のとき単調増加、 のとき単調減少、 のとき定数である。

性質

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 のとき、次の性質が成立している。この性質のことを、指数法則と呼ぶ。

  •  
  •  
  •  
証明

また、指数関数は実数上で連続であり、次の等式が成り立つ。

  •  のとき 
  •  のとき 
証明

対数関数

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定義

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指数関数 の逆関数を と書き、これをaを底とする対数関数と呼ぶ。特に、ネイピア数eを底とする対数関数を自然対数と呼び、底を省略して と書く。

性質

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定義と指数関数の性質から、直ちに次の公式が得られる。 のとき、

  •  
  •  
  •  
  • 対数関数は連続である。
  •  のとき 
  •  のとき 
証明