解析学基礎/指数関数と対数関数

指数関数

定義

指数が整数のとき

$a>0$、$n\in \mathbb {N}$のとき、aをn回かけた数を$a^{n}$であらわす。すなわち、 $\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n{\text{ 個}}}=a^{n}$である。
また、$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$、$a^{0}=1$とする。

このとき、$a^{n}$は、$a>1$のとき単調増加、$0<a<1$のとき単調減少、$a=1$のとき定数である。

指数が有理数のとき

$a>0$、$p\in \mathbb {N}$、$q\in \mathbb {Z}$のとき、$a^{\frac {q}{p}}={\sqrt[{p}]{a^{q}}}$として定義する。

$p_{1},p_{2}\in \mathbb {N} ,q_{1},q_{2}\in \mathbb {Z} ,{\frac {q_{1}}{p_{1}}}>{\frac {q_{2}}{p_{2}}}$のとき、
$\left({\sqrt[{p_{1}}]{a^{q_{1}}}}\right)^{p_{1}p_{2}}-\left({\sqrt[{p_{2}}]{a^{q_{2}}}}\right)^{p_{1}p_{2}}=a^{p_{2}q_{1}}-a^{p_{1}q_{2}}$
であることから、$a^{q}(q\in \mathbb {Q} )$は、$a>1$のとき単調増加、$0<a<1$のとき単調減少、$a=1$のとき定数であることがわかる。

指数が実数のとき

$\alpha >0$を無理数とし、$\alpha$に収束する有理数の単調増加列を$r_{n}$とする。アルキメデスの原理より、$\alpha$より大きい自然数Nが存在する。 $a>1$とすると、そのようなNと十分大きいnに対し$1<a^{r_{n}}<a^{N}$なので、有界で単調な数列$a^{r_{n}}$は収束する。 この収束値は、$r_{n}$によらないことを示す。

$r_{n},s_{n}$を、無理数$\alpha$に収束する有理数の単調増加列とし（したがって、$r_{n},s_{n}<\alpha$)、$a^{r_{n}}\to \beta$とする。任意の$\epsilon$に対して、$0<\beta -a^{r_{N}}<\epsilon$を満たす自然数Nが存在し、$s_{n}$が$\alpha$に収束することから、nを十分大きくとれば、$r_{N}<s_{n}$を満たす。そのようなnに対し、$0<\beta -a^{s_{n}}<\epsilon$なので、$a^{s_{n}}\to \beta$である。

この収束値の値を$a^{\alpha }$の値として定義する。 $0<a<1$についても同様である。また、$\alpha <0$のときは$a^{\alpha }={\frac {1}{a^{-\alpha }}}$と定める。 定義から、指数関数$a^{x}(x\in \mathbb {R} )$は$a>1$のとき単調増加、$0<a<1$のとき単調減少、$a=1$のとき定数である。

性質

$s,t\in \mathbb {R} ,a,b>0$のとき、次の性質が成立している。この性質のことを、指数法則と呼ぶ。

• $a^{s}a^{t}=a^{s+t}$
• $(a^{s})^{t}=a^{st}$
• $(ab)^{s}=a^{s}b^{s}$

証明

また、指数関数は実数上で連続であり、次の等式が成り立つ。

• $a>1$のとき$\lim _{x\rightarrow \infty }a^{x}=\infty ,\lim _{x\rightarrow -\infty }a^{x}=0$
• $0<a<1$のとき$\lim _{x\rightarrow \infty }a^{x}=0,\lim _{x\rightarrow -\infty }a^{x}=\infty$

証明

対数関数

定義

指数関数$y=a^{x}$の逆関数を$y=\log _{a}x$と書き、これをaを底とする対数関数と呼ぶ。特に、ネイピア数eを底とする対数関数を自然対数と呼び、底を省略して$y=\log x$と書く。

性質

定義と指数関数の性質から、直ちに次の公式が得られる。$0<a,b\neq 1,x,y,r\in \mathbb {R} ,x,y>0$のとき、

• $\log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y$
• $\log _{a}x^{r}=r\log _{a}x$
• $\log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}$
• 対数関数は連続である。
• $a>1$のとき$\lim _{x\rightarrow \infty }\log _{a}x=\infty ,\lim _{x\rightarrow +0}\log _{a}x=-\infty$
• $0<a<1$のとき$\lim _{x\rightarrow \infty }\log _{a}x=-\infty ,\lim _{x\rightarrow +0}\log _{a}x=\infty$

証明