解析学基礎/数列の極限

定義

数列$\{a_{n}\}$が、実数αに収束する、正の無限大に発散する、負の無限大に発散する、ということをそれぞれ$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty ,\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$と書き、それぞれの定義を次のようにする。

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha \Leftrightarrow \forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \ n>N\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\epsilon$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty \Leftrightarrow \forall K\ \exists N\in \mathbb {N} \ \ n>N\Rightarrow a_{n}>K$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty \Leftrightarrow \forall K\ \exists N\in \mathbb {N} \ \ n>N\Rightarrow a_{n}<K$

例 数列$a_{n}=n^{p}(p\in \mathbb {Z} )$について、
$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\begin{cases}\infty ,&p\geq 1\\1,&p=0\\0,&p\leq -1\end{cases}}$

[1]$p\geq 1$のとき

任意の$K>0$に対して、アルキメデスの原理より、${\sqrt[{p}]{K}}<N$を満たすNが存在する。$n>N$ならば、$p\geq 1$より$n^{p}>K$。よって、$a_{n}$は正の無限大に発散する。

[2]$p=0$のとき

任意のε>0に対して、$|a_{n}-1|=0<\epsilon$。よって$a_{n}$は1に収束する。

[3]$p<0$のとき

任意のε>0に対し、アルキメデスの原理から、${\sqrt[{p}]{\epsilon }}<N$を満たす自然数Nが存在する。$n>N$ならば、$p<0$に注意すると、$0<|n^{p}|<\epsilon$。よって、$a_{n}$は0に収束する。

性質

数列の和差積商の極限

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta$のとき、次の等式が成立する。

• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\alpha +\beta$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\alpha \beta$
• $\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\alpha \ (c\in \mathbb {R} )$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\alpha }{\beta }}\ (\beta \neq 0)$

証明は関数の極限の証明と同じであるので省略する。

その他の基本的性質

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }a_{n}=\beta$ならば、α = β

証明
任意のε>0に対して、あるNが存在して$n>N$ならば$|a_{n}-\alpha |<{\frac {\epsilon }{2}},|a_{n}-\beta |<{\frac {\epsilon }{2}}$なので、
$|\alpha -\beta |\leq |\alpha -a_{n}|+|a_{n}-\beta |\leq \epsilon$
εは任意より、α=β

• $a_{n}\leq b_{n},\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta$ならば$\alpha \leq \beta$

証明
任意の ε>0に対して、あるNが存在して$n>N$ならば$\alpha -\epsilon <a_{n}<\alpha +\epsilon ,\beta -\epsilon <b_{n}<\beta +\epsilon$なので、
$\alpha -\epsilon <a_{n}\leq b_{n}<\beta +\epsilon \ \therefore \alpha -\beta <2\epsilon$
εは任意の正の数なので、α≤β

• $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n},\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }c_{n}=\alpha$ならば、$\lim _{n\to \infty }b_{n}=\alpha$

証明は関数の極限と同じなので省略する。

実数の連続性に関わる性質

• 有界な単調数列は収束する。

証明
$\{a_{n}\}$が有界な単調増加列とし、$\sup a_{n}=\alpha$とおく。上限の定義より、任意のεに対し、$\alpha -\epsilon <a_{N}$を満たす自然数Nが存在し、$n>N$のとき、単調増加性より、$\alpha -\epsilon <a_{N}<a_{n}\leq \alpha$。つまり、数列$a_{n}$は収束する。

• $a_{n},b_{n}$をそれぞれ、単調増加数列、単調減少数列としてすべての自然数iについて$a_{i}<b_{i}$かつ、$\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$ならば、実数cが存在して、$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=c$（区間縮小法の原理）

証明
$a_{1}\leq a_{n}<b_{n}\leq b_{1}$より、二つの数列は有界かつ単調で、収束する。それぞれの極限値をα , βとおくと、条件よりβ-α=0 ∴ α = β

• 有界な数列は収束部分列を持つ。（ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)

証明
数列$\{a_{n}\}$を有界とする。$m_{1}<a_{n}<M_{1},I_{1}=[m_{1},M_{1}]$とおく。$[m_{1},{\frac {m_{1}+M_{1}}{2}}],[{\frac {m_{1}+M_{1}}{2}},M_{1}]$のうち、有限個の{a_n}の項しか含んでいない方でない方を$I_{2}=[m_{2},M_{2}]$とおく。 このようにして数列$m_{n},M_{n}$を作ると、この二つの数列は、前性質の条件を満たしているので、ともに収束する。 また、すべての自然数kに対して、$m_{k}<a_{n_{k}}<M_{k}$を満たす自然数$n_{k}$が存在し、はさみうちの原理から部分列$\{a_{n_{k}}\}$は収束する。

• $\forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \ n>N\land m>N\Rightarrow |a_{n}-a_{m}|<\epsilon$（これを満たす数列をコーシー列という）なら、数列$\{a_{n}\}$は収束する。

証明
ε₁を固定して、ε =ε₁のときのNをN₁とおくと、n>N₁のとき、$a_{N_{1}}-\epsilon _{1}<a_{n}<a_{N_{1}}+\epsilon _{1}$より、数列は有界で、前性質より収束する部分列$\{a_{n_{k}}\}$を持つ。この収束値をαとおくと、ある自然数Nが存在して、$n_{k},n>N\Rightarrow |a_{n_{k}}-\alpha |<{\frac {\epsilon }{2}}\land |a_{n}-a_{n_{k}}|<{\frac {\epsilon }{2}}$が成り立つので、三角不等式より、$|a_{n}-\alpha |<|a_{n}-a_{n_{k}}|+|a_{n_{k}}-\alpha |<\epsilon$