定義

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数列 が、実数αに収束する、正の無限大に発散する、負の無限大に発散する、ということをそれぞれ と書き、それぞれの定義を次のようにする。

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数列 について、
 

[1] のとき

任意の に対して、アルキメデスの原理より、 を満たすNが存在する。 ならば、 より 。よって、 は正の無限大に発散する。

[2] のとき

任意のε>0に対して、 。よって は1に収束する。

[3] のとき

任意のε>0に対し、アルキメデスの原理から、 を満たす自然数Nが存在する。 ならば、 に注意すると、 。よって、 は0に収束する。

性質

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数列の和差積商の極限

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 のとき、次の等式が成立する。

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証明は関数の極限の証明と同じであるので省略する。

その他の基本的性質

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  •  ならば、α = β

証明
任意のε>0に対して、あるNが存在して ならば なので、
 
εは任意より、α=β


  •  ならば 

証明
任意の ε>0に対して、あるNが存在して ならば なので、
 
εは任意の正の数なので、α≤β


  •  ならば、 

証明は関数の極限と同じなので省略する。

実数の連続性に関わる性質

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  • 有界な単調数列は収束する。

証明
 が有界な単調増加列とし、 とおく。上限の定義より、任意のεに対し、 を満たす自然数Nが存在し、 のとき、単調増加性より、 。つまり、数列 は収束する。

  •  をそれぞれ、単調増加数列、単調減少数列としてすべての自然数iについて かつ、 ならば、実数cが存在して、 (区間縮小法の原理)

証明
 より、二つの数列は有界かつ単調で、収束する。それぞれの極限値をα , βとおくと、条件よりβ-α=0 ∴ α = β

  • 有界な数列は収束部分列を持つ。(ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)

証明
数列 を有界とする。 とおく。 のうち、有限個の{an}の項しか含んでいない方でない方を とおく。 このようにして数列 を作ると、この二つの数列は、前性質の条件を満たしているので、ともに収束する。 また、すべての自然数kに対して、 を満たす自然数 が存在し、はさみうちの原理から部分列 は収束する。

  •  (これを満たす数列をコーシー列という)なら、数列 は収束する。

証明
ε1を固定して、ε =ε1のときのNN1とおくと、n>N1のとき、 より、数列は有界で、前性質より収束する部分列 を持つ。この収束値をαとおくと、ある自然数Nが存在して、 が成り立つので、三角不等式より、