解析学基礎/解析概論/第二類/函数の連続性

函数 $f(x)$ が与えられているとき，独立変数 $x$ の或る値 $x_{0}$ に於いて，$f(x_{0})$ 及び $\lim _{h\to 0}f(x_{0}\pm h)$ の値が定まった有限な数でかつ互いに相等しい場合には，函数 $f(x)$ は $x=x_{0}$ に於いて連続であるという． なお詳しく言えば，とのように小さい $\varepsilon (>0)$ についても適当な正数 $\delta$ があって $|h|<\delta$ なるすべての $h$ の値に対して次の関係：

$|f(x_{0}-h)-f(x_{0})|<\varepsilon$

が成り立つ場合には，$f(x)$ は $x=x_{0}$ に於いては連続である． $x$ の変域内のすべての値に於いて $f(x)$ が連続であれば，$f(x)$ はその変域に於いて連続であるという．

$f(x)$ が $x=x_{0}$ に於いて定まった有限の値をもたない場合即ちその値が不定であることがある． この場合に，もし $h>0$ として $\lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)$ 及び $\lim _{h\to 0}f(x_{0}-h)$