電気回路理論/共振回路

インダクタとキャパシタを一つの回路に含む場合、その回路は共振(共鳴、resonance)を起こすことがある。

RLC共振回路

RLC共振回路

例えば右図に示すような、抵抗R、インダクタL、キャパシタCを直列に接続した回路を考える。この様な回路をRLC共振回路と呼ぶ。この回路に電圧${\dot {V}}$を与えたときの電流${\dot {I}}$を考えてみよう。

抵抗、インダクタ、キャパシタは直列に接続されているから、これらの合成インピーダンスZは

${\begin{aligned}Z&=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}\\&=R+j\omega L-{\frac {j}{\omega C}}\\&=R+j\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)\\\end{aligned}}$

となる。したがって電流と電圧の関係はこのZを用いて

${\dot {V}}=Z{\dot {I}}$

と書くことができる。インピーダンスは$\omega$を含んでいるので、周波数の関数と見ることができる。そして、たとえ一定の電圧ベクトル(すなわち振幅と位相が一定の電圧)を与えたとしても、その周波数によって回路のインピーダンスは変化し、その結果流れる電流ベクトル(すなわち振幅と位相)も変化する。これは、同じ振幅の電圧を与えたとしても、周波数によっては大きな電流を得て、また別の周波数では小さな電流になることを意味している。

回路の動作を理解するために、もうすこし定性的に考えてみよう。周波数の低い交流では、回路は直流回路に似た応答をするはずである。つまりキャパシタはほぼ開放とみなすことができ、インダクタはほぼ短絡とみなすことができる。これはキャパシタやインダクタのリアクタンスを考え、$\omega \to 0$として考えてみるとよい。このことから、あまりに周波数が小さいと、回路に電流は流れない。一方、高周波の電圧を与えた場合はどうであろうか。この場合は低周波とは逆に、キャパシタは短絡とみなすことができ、インダクタは開放とみなすことができるはずである。これもやはり、キャパシタやインダクタのリアクタンスの$\omega \to \infty$の値を考えてみるとよいであろう。したがってこのばあいでも、回路に電流は流れない。しかし、周波数を低周波から徐々にあげていけば、どこかでこのバランスがとれた点が見つかり、そこでの電流は大きな値をとるはずである。実際には大きな値どころか非常に大きな値をとることになり、これを共振と呼ぶのである。

では、電流が最大になるような周波数$\omega _{0}$はいくつであろうか。インピーダンスの絶対値を$|Z|$、偏角を$\angle Z$と書くことにすると、

$|Z|={\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}$

$\angle Z=\tan ^{-1}{\frac {\omega L-{\frac {1}{\omega C}}}{R}}$

となる。ここで、${\dot {I}}={\dot {V}}/Z$より、

$|{\dot {I}}|={\frac {|{\dot {V}}|}{|Z|}}$

であるから、電圧が一定の下で電流の振幅を最大にするためにはインピーダンスの絶対値を最小にすればよいことがわかる。

インピーダンスの絶対値は

$|Z|={\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}$

であった。これは$\omega$の関数であって、これを最小にするためには、

$\omega L-{\frac {1}{\omega C}}=0$

にすればよい。したがって、電流が最大となるような周波数$\omega _{0}$は、

$\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

である。この周波数を共振角周波数という。また、共振周波数$f_{0}$は、

$f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}$

である。共振時のインピーダンスは

$Z=R$

となる。

Q値

共振回路の周波数特性

共振回路のアドミタンスYは、インピーダンスの逆数であるから

$Y={\frac {1}{Z}}={\frac {1}{|Z|}}e^{-j\angle Z}$

と書くことができる。横軸に$\omega$、縦軸に$|Y|$をとってグラフを書くと、およそ右図のようになる。この様に横軸に周波数をとったグラフをある回路やある物理量の周波数特性と呼ぶ。この場合は共振回路のアドミタンスの大きさの周波数特性である。また、周波数軸は通常対数グラフを用いてあることに注意する。すなわち、$\omega$ = 1、10、100、1000、…の点が等間隔に現れることになる。

さて、右図の周波数特性を見ると、共振角周波数のところで急峻なピークをとる形になっている。この共振周波数特性のピークの鋭さを表す値としてQ値(Q factor, Quality factor)がある。Q値は次のように定義される。

共振周波数における値の${\frac {1}{\sqrt {2}}}$になる周波数を$\omega _{1},\omega _{2}(\omega _{1}<\omega _{2})$とする。このとき、

$\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}$

を半値全幅という。アドミタンスが${\frac {1}{\sqrt {2}}}$のときを考えるのは、そのときに電力がちょうど半分になるからである。この半値全幅と共振周波数の比

$Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{2}-\omega _{1}}}$

をQ値という。Q値が大きいほど、$\Delta \omega$が小さい、すなわち急峻なピークを持つ特性になる。

前述の共振回路の場合についてQ値を求めてみよう。アドミタンスYの大きさが共振時の${\frac {1}{\sqrt {2}}}$になるとき、インピーダンスZの大きさは共振時の${\sqrt {2}}$倍になる。共振時のインピーダンスはRに等しく、しかもインピーダンスの実部は常にRだから、大きさがこの${\sqrt {2}}$倍になるとき、

$Z=R(1\pm j)$

となるはずである。すなわちこのとき、虚部を比較すれば、

$\omega L-{\frac {1}{\omega C}}=\pm R$

となる。これを整理すると

$LC\omega ^{2}\mp RC\omega -1=0$

であり、$\omega$に関する2次方程式となる。いま、$\omega >0$であるから、これに注意して方程式を解くと

$\omega ={\frac {\pm RC+{\sqrt {R^{2}C^{2}+4LC}}}{2LC}}$

となる。これが$\omega _{1}$ないし$\omega _{2}$であるから、半値全幅$\Delta \omega$は

$\Delta \omega ={\frac {RC+{\sqrt {R^{2}C^{2}+4LC}}}{2LC}}-{\frac {-RC+{\sqrt {R^{2}C^{2}+4LC}}}{2LC}}={\frac {R}{L}}$

となる。したがって、Q値は

$Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}={\frac {1/{\sqrt {LC}}}{R/L}}={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

となる。あるいは、

$Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{\omega _{0}CR}}$

と書くことができる。$\omega _{0}L$あるいは${\frac {1}{\omega _{0}C}}$は、それぞれ共振状態におけるインダクタとキャパシタのリアクタンスの大きさであるから、RCL共振回路におけるQ値は共振状態における抵抗とコイルあるいはキャパシタのリアクタンスの大きさの比と考えることもできる。