電気回路理論/過渡状態の回路素子

回路素子の節で見たとおり、線形素子の中でも、インダクタやキャパシタは電流と電圧との間に時間積分や時間微分の関係がある。スイッチを切った回路について、ある時刻にスイッチをオンにして電流を流し始めると、抵抗では電流を流した瞬間にオームの法則にしたがった一定の電圧が発生するが、インダクタやキャパシタはそのようにはならず、時間変動する電流・電圧を生じる。十分に時間が経過すれば、前章までに見たような時間変動のない定常状態をとるが、それまでの時間変動がある状態を過渡状態という。この章では、電気回路の過渡状態に注目して学ぶことにする。

微分方程式・積分方程式

これまでは、特にインダクタやキャパシタを含む直流回路について、直流回路の計算法で見たように回路素子を導線の短絡や開放に置き換えて考えることができた。交流回路ではこれまで定常状態のみを考えたため、インピーダンスなどの量を用いて簡単に考えることができた。しかし、電気回路の過渡状態を考察するためには、インダクタやキャパシタの電流・電圧の時間変動そのものが問題になる以上、これらの微分や積分を考慮しなくてはならない。

過渡状態においても、キルヒホッフの法則は常に成り立つ。そこで、過渡状態を考察するためには、キルヒホッフの法則と回路素子の節で見た電流・電圧の関係を利用して回路方程式を立てて解けばよい。

例えば、起電力Vの直流電圧源に自己インダクタンスLのコイルと抵抗Rを直列に接続した簡単な回路を考える。この回路に流れる電流をi(t)とすれば、コイルの両端に発生する電圧vは、回路素子の節で見たように、

$v=L{\frac {di(t)}{dt}}$

であるから、結局、KVLより

$Ri(t)+L{\frac {di(t)}{dt}}=V$

が成り立つ。

過渡状態においてKVLやKCLを用いて方程式を立てると、多くの場合その式にはこのような微分項または積分項が含まれる。微分項を含む方程式を微分方程式、積分項を含む方程式を積分方程式といい、両者とも含む方程式を微積分方程式などと呼ぶことがある。

積分方程式は、方程式の両辺を適切な回数だけ微分することにより、微分方程式に帰着させることができる。したがって微分方程式を解くということがこれ以降の目標となる。微分方程式の理論に関しては微分方程式の教科書を参照されたい。