電磁気学II

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はじめに

電磁気学がからんでくる現象は数多いが、 これらの現象のうちの多くは 次の2つの方程式によって記述される。

ガウス単位系では、

$\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=4\pi J_{\mu }$

$F_{\mu \nu .\rho }+F_{\rho \mu .\nu }+F_{\nu \rho .\mu }=0$

ここで、

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$

$={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{pmatrix}}$

でありまた、

$J_{\mu }={\begin{pmatrix}\rho \\{\vec {j}}\\\end{pmatrix}}$

である。 更に、

$A_{,\mu }=\partial _{\mu }A={\frac {\partial {}}{\partial {x^{\mu }}}}A$

(Aは、

$x^{\mu }=t,x,y,z$

のある関数。) となる。

note: 実際には現在ではほとんどの分野で、古くなっているGauss単位系ではなく、 SI単位系が用いられている。(特に工学の分野ではそうであるようである。) ただし、特殊相対論と組み合わせた 電磁気現象を見るぶんには、Gauss単位系でもそれほど不自由がないので、 こちらを用いている。

ここではこれらの式がどの様に書かれるかを見ていく。

comment: 過去の遺物である Gauss単位系を今さら用いるのは、教育的 見地からしても問題である。 Gauss単位系が相対論に適合しているというのは誤解である。 （たとえば電荷保存則を見れば明らかである。）

Gaussの法則

空間中に電荷を置くと、 その回りには、 等方的に

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}$

の電界が生じる。 ただし、これはSI単位系で書かれた式であり、 ガウス単位系では、

${\vec {E}}={\frac {q}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}$

と書かれる。 放射状に電界が広がるという描像は変化していない ことに注意。 これを一般化すると、 ある表面積分を行なったとき、

$4\pi r^{2}\cdot {\vec {E}}=4\pi r^{2}\cdot {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}$

$\iint d{\vec {S}}{\vec {E}}={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\iiint dV\rho$

が成り立つ。 ここで、

$\iiint dV\rho =q$

である。(電荷密度の定義) ここで、

$\rho$

は電荷密度である。 ガウスの定理を用いて この式の 左辺を空間積分で書き変えると、

$\iint d{\vec {S}}{\vec {E}}$

$=\iiint dV{\textrm {div}}{\vec {E}}$

$=\iiint dV\rho$

よって、

${\textrm {div}}{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

が成り立つ。 同じ計算をすると、ガウス単位系では

${\textrm {div}}{\vec {E}}=4\pi \rho$

となることが分る。

ここで、

$\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=4\pi J_{\nu }$

の第0成分を書き変えると、 (

$\partial ^{\mu }=(0,-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z})$

$F_{\mu 0}=(0,-E_{x},-E_{y},-E_{z})$

に注意。 )

$\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }$

$={\textrm {div}}{\vec {E}}=4\pi \rho$

となり、確かに現象と一致する。

単極磁子は存在しない。

上で、ある電荷があるとその回りに放射状の電界が生じることを 述べたが、磁場についてはその様な対応物、つまり磁荷が存在しないことが 実験的に知られている。 (一般的な磁石はS極とN極が対になっているので磁荷と呼ぶことはできない。) このことを用いて電荷の場合と同じ計算をすると

$\iint d{\vec {S}}{\vec {B}}$

$=\iiint dV{\textrm {div}}{\vec {B}}$

$=0$

(これは磁荷密度が常に0であることによる。) 上と同様にガウスの定理を用いて書き換えると、

${\textrm {div}}{\vec {B}}=0$

が成り立つことが分る。

ここで、

$F_{\mu \nu .\rho }+F_{\rho \mu .\nu }+F_{\nu \rho .\mu }=0$

で、

$\mu =1,\nu =2,\rho =3$

と選ぶと、

${\textrm {lhs}}=\partial _{z}B_{z}+\partial _{y}B_{y}+\partial _{x}B_{x}$

$={\textrm {div}}{\vec {B}}$

$=rhs=0$

となり確かに式が現象を説明することがわかる。 (この結果は、ガウス単位系でもSI単位系でも同一である。)

電磁誘導

磁場の時間変化が電場を引き起こすという法則が レンツの法則として、知られている。

${\vec {E}}=-{\frac {1}{2\pi a}}{\frac {\partial {\Phi }}{\partial {t}}}$

(SI単位系での式) これは円形のコイル(半径a)を使ったときの表式であるが、 そうでないときに一般化すると、

$2\pi a{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\Phi }}{\partial {t}}}$

$\int d{\vec {l}}\cdot {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\Phi }}{\partial {t}}}$

$=-{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}\iint dS{\vec {n}}\cdot {\vec {B}}$

ストークスの定理を用いて書き変えると、

$\int d{\vec {l}}{\vec {E}}=\iint dS{\vec {n}}\cdot {\textrm {rot}}{\vec {E}}$

よって、

${\textrm {rot}}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}{\vec {B}}$

が従う。 Gauss単位系では

${\textrm {rot}}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}{\vec {B}}$

となる。

ここで、

$F_{\mu \nu .\rho }+F_{\rho \mu .\nu }+F_{\nu \rho .\mu }=0$

で例えば、

$\mu =0,\nu =1,\rho =2$

と置くと、

${\textrm {lhs}}=\partial _{y}E_{x}+\partial _{x}(-E_{y})-\partial _{t}B_{z}$

$=-{\textrm {rot}}{\vec {E}}|_{z}-{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}B_{z}$

$={\textrm {rhs}}=0$

となり、上で現象から得られた式のz成分と一致する。 x成分、y成分はそれぞれ

$\mu =0,\nu =2,\rho =3$

,

$\mu =0,\nu =3,\rho =1$

と置くと求めることが出来る。 よってこの場合も式が現象を説明することが わかる。

電流の回りの磁場と変位電流

直線的に流れる電流の回りには、

${\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {I}{a}}$

の磁束密度が生じることが知られている。 (SI単位系での式。) (aは電線からの距離。) これを一般化すると、

$\int d{\vec {l}}\cdot {\vec {B}}={\mu _{0}}I={\mu _{0}}\iint d{\vec {S}}\cdot {\vec {j}}$

となる。 ストークスの定理を用いて線積分を 面積分に変換すると、

$\int d{\vec {l}}\cdot {\vec {B}}$

$=\iint d{\vec {S}}\cdot {\textrm {rot}}{\vec {B}}$

よって両辺を比べることで、

${\textrm {rot}}{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}$

が得られる。実際にはこの式が 上で得られた式と一致するには もう1つ現象を付け加える必要がある。 例えば、平板 コンデンサに対して電荷が蓄積していくとき、 コンデンサの間の空間には電場の時間変化が現われる。 このとき、%電荷の時間変化には コンデンサの間の空間には(電流からの寄与が無くても) 磁場が生じることが知られている。 この項は、通常の電流と比べて変位電流と呼ばれる。 数式では、(SI単位系では)

${\vec {j}}\rightarrow \epsilon _{0}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}{\vec {E}}$

としたものに等しい。 これら2つの寄与を足し合わせると、式

${\frac {1}{\mu _{0}}}{\textrm {rot}}{\vec {B}}={\vec {j}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}{\vec {E}}$

が得られる。 ガウス単位系では、

${\textrm {rot}}{\vec {B}}=4\pi {\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}{\vec {E}}$

ここで、

$\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=4\pi J_{\nu }$

で例えば、

$\nu =1$

を代入すると、

${\frac {1}{c}}{\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {t}}}-\partial _{y}{(B_{z})}-\partial _{z}{-B_{y}}=-4\pi j_{x}$

${\frac {1}{c}}{\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {t}}}-{\textrm {rot}}{\vec {B}}|_{x}=4\pi j_{x}$

$-{\textrm {rot}}{\vec {B}}|_{x}=-4\pi j_{x}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}E_{x}$

${\textrm {rot}}{\vec {B}}|_{x}=4\pi j_{x}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}E_{x}$

となり確かに一致する。 y,z方向については

$\nu =2$

,

$\nu =3$

とおけばよい。

電磁波の伝搬

真空中では、

$J^{\mu }=0$

が成り立つので、

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=0$

$\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })=0$

が得られる。 ここで、

$A^{\mu }$

がゲージの自由度を持つことを考慮して この方程式を簡単にすることが出来る。 ここでは、

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0$

(ローレンツゲージ) をとる。 すると、上の式は簡単になって、

$\partial ^{2}A^{\mu }=0$

となる。 ここで、

$\partial ^{2}=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{}}{\partial {t}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial {\vec {x}}^{2}}})$

である。 この式は速度cで伝搬する波の波動方程式であり、 真空中を電場や磁場が光の速さで伝搬することが分る。 実際にはこのことから光がこのような波(電磁波と呼ぶ)の 一種であることが知られた。 電磁波は振動数によって様々な名前で呼ばれる。