高等学校数学I 二次関数 演習A

この項は高等学校数学I 二次関数の演習問題Aである。

問題

問1

二次関数 $y=2x^{2}$ のグラフを平行移動して、頂点が次の点に来るようにしたとき、その放物線の式を求めよ。

(1) (2,3)

(2) (-1,4)

(3) (-4,-2)

解答

問2

xの二次関数yのグラフが三点 (2,3), (1,4), (-1,2) を通るとき、yをxの式で表せ。

解答

問3

四次関数 $y=x^{4}+2x^{2}+1$ がある。次の設問に答えよ。

解答

問3-1

この四次関数を二つの二次関数の積に書き直せ。

例:$y=x^{4}+x^{2}\Longleftrightarrow y=(x^{2})\times (x^{2}+1)$

問3-2

この四次関数の最小値、最大値を求めよ。また y がそれらの値を取る時の x の値も求めよ。

解答

問1

(1) $y=2(x-2)^{2}+3$ あるいは $y=2x^{2}-8x+11$。

(2) $y=2(x+1)^{2}+4$ あるいは $y=2x^{2}+4x+6$。

(3) $y=2(x+4)^{2}-2$ あるいは $y=2x^{2}+16x+30$。

問2

求める式を $y=ax^{2}+bx+c$ とおく。これらが与えられた点を通るから、

${\begin{cases}3=4a+2b+c&\cdots (1)\\4=a+b+c&\cdots (2)\\2=a-b+c&\cdots (3)\end{cases}}$

がなりたつ。

(2) - (3) より $2=2b$。 よって、$b=1$ … (4)。

(1) - (3) より $1=3a+3b$。(4) を代入して、$a=-{\frac {2}{3}}$。

(1) より $c=3-4\times \left(-{\frac {2}{3}}\right)-2={\frac {11}{3}}$。

以上より、求める式は $y=-{\frac {2}{3}}x^{2}+x+{\frac {11}{3}}$。

問3

四次関数の問題で驚いたかもしれないが、式を変形していけば、最終的に二次関数の問題として捉えられる。二次関数の形として整理できれば、後は自分の持っている知識で解けるだろう。

問3-1

このような問題では、適当な式を文字に置き換える。この場合では、文字を $t$、適当な式を $x^{2}$ として、$t=x^{2}$ とすればうまく式をまとめられる。

$y=x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2})^{2}+2(x^{2})+1=t^{2}+2t+1=(t+1)^{2}$。

t を元に戻して、

$y=(x^{2}+1)^{2}$。

問3-2

結局、$y=x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^{2}$ だということがわかったので、このことをもとにこの四次関数の最大値、最小値を考えてみる。

ここでもまた、適当な式を文字におきかえて考えてみる。ここでは、$s=x^{2}+1$ とする。そうすると、$y=(x^{2}+1)^{2}=s^{2}$ となり、単純な二次関数の形になる。$s$ の定義域に注目する。まず s の定義から、$s=x^{2}+1$ であるから、$s\geq 1$ である。よって、

$y=s^{2}$ ($s\geq 1$)

という単純な二次関数の最大最小問題に帰結することができた。$y$ の最小値は、$s=1$ の時、$y=1$ である。 よって、$s=x^{2}+1=1$ すなわち、$x^{2}=0\iff x=0$ のとき、与えられた四次関数の最小値は $y=1$。

最大値は存在しない。通常は示す必要はないと思うが、ここではこれを示しておく。仮に、そのような最大値が存在すると仮定して、その最大値を $y_{\rm {Max}}$ その時の $s$ の値を $k-1$ とする。$y_{\rm {Max}}=k^{2}$ である。さらに、$y'=(k+1)^{2}$ とする。

仮定から $y_{\rm {Max}}$ が最大値であるので、少なくとも $y_{\rm {Max}}\geq y'$ である。 このとき、

$y_{\rm {Max}}-y'=(k^{2})-(k+1)^{2}=-2k-1\geq 0$

が成り立つはずである。しかし、$s\geq 1$ から $k\geq 0$ であるので、これは矛盾を生じてしまう。したがって最大値は存在しない。