高等学校数学I 二次関数 演習A

この項は高等学校数学I 二次関数の演習問題Aである。

問題

問1

二次関数 $y=2x^{2}$ のグラフを平行移動して、頂点が次の点に来るようにしたとき、その放物線の式を求めよ。

1. $(2,3)$
2. $(-1,4)$
3. $(-4,-2)$

解答

問2

$x$の二次関数$y$のグラフが三点 $(2,3),(1,4),(-1,2)$ を通るとき、$y$を$x$の式で表せ。

解答

問3

四次関数 $y=x^{4}+2x^{2}+1$ の最小値、最大値を（あれば）求めよ。また $y$ がそれらの値を取るときの $x$ の値も求めよ。

解答

問4

二次関数$f(x)=2x^{2}-ax+a$の定義域$1\leqq x\leqq 5$における最大値$M$と最小値$m$を求めよ。

解答

解答

問1

1. $y=2(x-2)^{2}+3$ あるいは $y=2x^{2}-8x+11$。
2. $y=2(x+1)^{2}+4$ あるいは $y=2x^{2}+4x+6$。
3. $y=2(x+4)^{2}-2$ あるいは $y=2x^{2}+16x+30$。

問2

求める式を $y=ax^{2}+bx+c$ とおく。これらが与えられた点を通るから、

${\begin{cases}3=4a+2b+c&\cdots (1)\\4=a+b+c&\cdots (2)\\2=a-b+c&\cdots (3)\end{cases}}$

がなりたつ。

(2) - (3) より $2=2b$。 よって、$b=1$ … (4)。

(1) - (3) より $1=3a+3b$。(4) を代入して、$a=-{\frac {2}{3}}$。

(1) より $c=3-4\times \left(-{\frac {2}{3}}\right)-2={\frac {11}{3}}$。

以上より、求める式は $y=-{\frac {2}{3}}x^{2}+x+{\frac {11}{3}}$。

問3

$x^{2}=t$と置くことで、$y$は$t$の二次関数となる。

$y=x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2})^{2}+2(x^{2})+1=t^{2}+2t+1=(t+1)^{2}$

$t\geq 0$であることに注意すると、この関数は$t=0$のとき最小値1をとる。すなわち、$x=0$のとき最小値1をとる。

最大値は存在しない。ほぼ明らかだが、ここでは丁寧に示してみよう。ある実数$M$が$y$の最大値であるとする。 $M\geq 1$であるから、$x={\sqrt {-1+{\sqrt {M+1}}}}$は実数である。そして、この$x$に対して

$y=(x^{2}+1)^{2}=M+1>M$

である。これは$M$が最大値であることと矛盾する。よって、最大値は存在しない。

問4

$f(x)=2\left(x-{\frac {a}{4}}\right)^{2}-{\frac {a^{2}}{8}}+a$

であるから、グラフの軸$x={\frac {a}{4}}$の位置により場合分けする。

最大値については、

${\frac {a}{4}}<3$のとき、すなわち$a<12$のとき、$M=f(5)=-4a+50$である。

${\frac {a}{4}}\geq 3$のとき、すなわち$a\geq 12$のとき、$M=f(1)=2$である。

最小値については、

${\frac {a}{4}}<1$のとき、すなわち$a<4$のとき、$m=f(1)=2$である。

$1\leq {\frac {a}{4}}\leq 5$のとき、すなわち$4\leq a\leq 20$のとき、$m=f(a)=-{\frac {a^{2}}{8}}+a$である。

${\frac {a}{4}}>5$のとき、すなわち$a>20$のとき、$m=f(5)=-4a+50$である。