高等学校数学I 二次関数 演習A
この項は高等学校数学I 二次関数の演習問題Aである。
問題編集
問1編集
二次関数 のグラフを平行移動して、頂点が次の点に来るようにしたとき、その放物線の式を求めよ。
問2編集
の二次関数 のグラフが三点 を通るとき、 を の式で表せ。
問3編集
四次関数 の最小値、最大値を(あれば)求めよ。また がそれらの値を取るときの の値も求めよ。
問4編集
二次関数 の定義域 における最大値 と最小値 を求めよ。
解答編集
問1編集
- あるいは 。
- あるいは 。
- あるいは 。
問2編集
求める式を とおく。これらが与えられた点を通るから、
がなりたつ。
- (2) - (3) より 。 よって、 … (4)。
- (1) - (3) より 。(4) を代入して、 。
- (1) より 。
以上より、求める式は 。
問3編集
と置くことで、 は の二次関数となる。
であることに注意すると、この関数は のとき最小値1をとる。すなわち、 のとき最小値1をとる。
最大値は存在しない。ほぼ明らかだが、ここでは丁寧に示してみよう。ある実数 が の最大値であるとする。 であるから、 は実数である。そして、この に対して
である。これは が最大値であることと矛盾する。よって、最大値は存在しない。
問4編集
であるから、グラフの軸 の位置により場合分けする。
最大値については、
- のとき、すなわち のとき、 である。
- のとき、すなわち のとき、 である。
最小値については、
- のとき、すなわち のとき、 である。
- のとき、すなわち のとき、 である。
- のとき、すなわち のとき、 である。