高等学校数学I 二次関数 演習A

この項は高等学校数学I 二次関数の演習問題Aである。

問題編集

問1編集

二次関数   のグラフを平行移動して、頂点が次の点に来るようにしたとき、その放物線の式を求めよ。

(1) (2,3)
(2) (-1,4)
(3) (-4,-2)

解答

問2編集

xの二次関数yのグラフが三点 (2,3), (1,4), (-1,2) を通るとき、yをxの式で表せ。

解答

問3編集

四次関数   がある。次の設問に答えよ。

解答

問3-1
この四次関数を二つの二次関数の積に書き直せ。
例: 
問3-2
この四次関数の最小値、最大値を求めよ。また y がそれらの値を取る時の x の値も求めよ。

解答編集

問1編集

(1)   あるいは  
(2)   あるいは  
(3)   あるいは  

問2編集

求める式を   とおく。これらが与えられた点を通るから、

 

がなりたつ。

(2) - (3) より  。 よって、  … (4)。
(1) - (3) より  。(4) を代入して、 
(1) より  

以上より、求める式は  

問3編集

四次関数の問題で驚いたかもしれないが、式を変形していけば、最終的に二次関数の問題として捉えられる。二次関数の形として整理できれば、後は自分の持っている知識で解けるだろう。

問3-1

このような問題では、適当な式を文字に置き換える。この場合では、文字を  、適当な式を   として、  とすればうまく式をまとめられる。

 

t を元に戻して、

 
問3-2

結局、  だということがわかったので、このことをもとにこの四次関数の最大値、最小値を考えてみる。

ここでもまた、適当な式を文字におきかえて考えてみる。ここでは、  とする。そうすると、  となり、単純な二次関数の形になる。  の定義域に注目する。まず s の定義から、  であるから、  である。よって、

  ( )

という単純な二次関数の最大最小問題に帰結することができた。  の最小値は、  の時、  である。 よって、  すなわち、  のとき、与えられた四次関数の最小値は  

最大値は存在しない。通常は示す必要はないと思うが、ここではこれを示しておく。仮に、そのような最大値が存在すると仮定して、その最大値を   その時の   の値を   とする。  である。さらに、  とする。

仮定から   が最大値であるので、少なくとも   である。 このとき、

 

が成り立つはずである。しかし、  から   であるので、これは矛盾を生じてしまう。したがって最大値は存在しない。