高等学校数学I 二次関数 演習A

この項は高等学校数学I 二次関数の演習問題Aである。

問題

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二次関数   のグラフを平行移動して、頂点が次の点に来るようにしたとき、その放物線の式を求めよ。

  1.  
  2.  
  3.  

解答

 の二次関数 のグラフが三点   を通るとき、  の式で表せ。

解答

四次関数   の最小値、最大値を(あれば)求めよ。また   がそれらの値を取るときの   の値も求めよ。

解答

二次関数 の定義域 における最大値 と最小値 を求めよ。

解答

解答

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  1.   あるいは  
  2.   あるいは  
  3.   あるいは  

求める式を   とおく。これらが与えられた点を通るから、

 

がなりたつ。

(2) - (3) より  。 よって、  … (4)。
(1) - (3) より  。(4) を代入して、 
(1) より  

以上より、求める式は  

 と置くことで、  の二次関数となる。

 

 であることに注意すると、この関数は のとき最小値1をとる。すなわち、 のとき最小値1をとる。

最大値は存在しない。ほぼ明らかだが、ここでは丁寧に示してみよう。ある実数  の最大値であるとする。  であるから、 は実数である。そして、この に対して

 

である。これは が最大値であることと矛盾する。よって、最大値は存在しない。

 

であるから、グラフの軸 の位置により場合分けする。

最大値については、

 のとき、すなわち のとき、 である。
 のとき、すなわち のとき、 である。

最小値については、

 のとき、すなわち のとき、 である。
 のとき、すなわち のとき、 である。
 のとき、すなわち のとき、 である。