物理数学I 解析学 > 【コーヒーブレーク】2のi乗の求め方


i乗?虚数乗なんて求められるのか?と思う方もいらっしゃるかもしれませんが、求められます。この本では2のi乗の求め方について解説します。

はじめに編集

2のi乗をGoogleで検索してみましょう。0.769238901 + 0.638961276iと表示されましたね。このような値はどのようにして求めるのでしょうか?

 など、指数部分が整数であれば のように、2を指数部分回掛けることで簡単に求めることができます。しかし、指数部分が虚数ではこのような定義は使えません。

そこで登場するのがオイラーの公式と呼ばれるものです。このオイラーの公式を次に示します:

 

次のセクションで、このオイラーの公式を使って2のi乗を求める方法について述べます。

オイラーの公式を使って2のi乗を求める編集

では、オイラーの公式を使って2のi乗を求めてみましょう。オイラーの公式 を見ると、左辺の指数関数の底がeとなっています。まず の底をeに変換することを考えます。
次のように、  のk倍で表されると考えましょう:

 

kについて式を整理すると

 

両辺の自然対数をとって

 

右辺を変形して

 

kについて式を整理して

 

このようにしてkが求められました。元の式にkを代入すると

 

以上のように、 の底をeに変換できました。求めたいのは の値ですから、この式にx=iを代入します:

 

ここでオイラーの公式を使います。オイラーの公式  とすると:

 

となり、2のi乗の値が求められました! 右辺はコンピュータの電卓ソフトウェアを使うか、関数電卓等で計算してみましょう。0.769238901... + 0.638961276i...となるはずです。 この求め方は2のi乗だけでなく、任意の正の数aについて、aのi乗を求めることにも応用できます。

参考文献編集

  1. オイラーの公式 東北大学情報通信工学科 [1]