Mizar/Q&A/意味

自然数の考え方

空集合Φを0=Φ={}と定義すると、後は帰納法的に、

要素数(自然数)	集合	集合
0	Φ	{}
1	{Φ}	{0}
2	{Φ,{Φ}}	{0,1}
3	{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}	{0,1,2}
…	…	…
n+1	n∪{n}	{0,1,2,...,n}

∴後続(successor)は以下のように定義される。

S(x) = x∪{x}

推移的(transitive)

集合 T が推移的であるとは、T の要素が T の部分集合になることです。

すなわち、T={Φ,{Φ}}の場合には、 {Φ}∈T かつ {Φ}⊂T である。

順序数(ordinal number)

集合 T が順序数であるとは、T が推移的であり、∈ について整列順序であること。

例：T={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}

∵

{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}∈T　かつ　{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}⊂T

{Φ}∈T　かつ　{Φ}⊂T

{Φ,{Φ}}∈T　かつ　{Φ,{Φ}}⊂T

{Φ,{Φ,{Φ}}}∈T　かつ　{Φ,{Φ,{Φ}}}⊂T

{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}∈T　かつ　{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}⊂T

{Φ}<{Φ,{Φ}}<{Φ,{Φ,{Φ}}}<{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}

無限の公理(Infinity)

∃x(0∈x∧∀y∈x(S(y)∈x))

また、内包の公理により、全て自然数だけの集合の存在がいえる。この集合をN ではなく、ω(omega) とする。

> Dedekind切断とは？

連続である実数をある点sで２つにちぎったとすると、Dedekind切断になります。

その２つにちぎった実数空間は２つの場合があります。

Dedekind切断
範囲	-∞～s		s～∞
-∞～s],(s～∞	s]は有理数,-∞～s]	s]を含むので、上界がs、上限もs	(sは無理数,(s～∞	s]を含まないので下界は無い、しかし、下限はs
-∞～s),[s～∞	s)は無理数,-∞～s)	[sを含まないので上界は無い、しかし上限はs	[sは有理数,[s～∞	[sを含むので、下界がs、下限もs

上界を上限、下界を下限とも言います。しかし、その逆は必ずしも真ではありません。

> 有界なる単調数列の収束について > > 下記のような式は　C、M　の意味は何でしょうか？ > 詳しく説明していただげませんか。

二項係数: nC2 = n(n-1)/2

M: 0を含み関数について閉じている集合

n:自然数;Mの部分集合の共通部分です。

式１：　a>1,k>0ならば　lim[n→∞](a^n/n^k)=∞.

証明

k　=　1　のときは
a^n　=　(1+(a-1))^n>nC2(a-1)^2　=　((a-1)^2)n(n-1)/2　より
a^n/n^k　>　{((a-1)^2)(n-1)/2}.
任意の　M　に対して　{2M/(a-1)^2}+1　より大なる自然数　n　をとれば,
M　<　(a^n/n^k)　となるので　lim[n→∞](a^n/n^k)=∞.

0　<　k　<　1　のときは
n^k　≦　n　であるので　(a^n/n^k)　≧　(a^n/n)>{((a-1)^2)(n-1)/2}.
任意の　M　に対して　{2M/(a-1)^2}+1　より大なる自然数　n　をとれば,
M　<　(a^n/n^k)　となるので　lim[n→∞](a^n/n^k)　=　∞.

1　<　k　のときは
a^(1/k)>1.　よって任意の　1　より大きいMに対して,ある一定以上の自然数　n　で
(a^n/n^k)　=　[{(a^(1/k))^n/n}]^k　>　M^k　>　M　だから
lim[n→∞](a^n/n^k)　=　∞.