定義(単拡大)

体の拡大 が単拡大(単純拡大)であるとは、 となる が存在することを言う。

体の有限次拡大   に対して以下は同値。

(i) 中間体が有限個である
(ii) 単拡大である

証明

(i) ⇒ (ii):
  が有限体の場合は ガロア理論/有限体 を参照のこと。
 ,   が無限体、のときを示せば十分。  とおいて、  となる   を探す。  は無限集合であるが、  は仮定より有限集合。したがって   となる相異なる   が取れる。
  であるので、  となり  

(ii) ⇒ (i):
  として、    上の最小多項式とする。  の中間体   について、    上の最小多項式とする。  の係数   について、  となることを示そう。
  として、    上の最小多項式とする。明らかに   なので、   で割り切れる。また、  より、   で割り切れる。つまり、  であり、  なので  
したがって、  の中間体は   で決まることがわかったのだが、   内で   を割り切るので、中間体が有限個であることが示された。

命題 2

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有限次分離拡大は単拡大である。

証明

  を有限次分離拡大とする。  を中間体として、   上の   の自己同型のなす群として、  とおく。このとき明らかに   である。

  は有限次分離拡大であり、拡大次数についての帰納法によって   とすれば、   の共役元として、  という自己同型がある(ガロア理論/分離拡大参照)ので、  である。したがって、  である。

さて、  は有限群   の部分群であり、そのような全ての   に対して   を考える。すると、  の真の中間体は、ある部分群   について   の部分体であり、そのようなものは帰納法の仮定により有限個である。したがって、部分群   は高々有限個しかないから、  の中間体は有限個である。

よって原始元定理によって示された。