体の有限次拡大 に対して以下は同値。
(i) 中間体が有限個である
(ii) 単拡大である
- 証明
(i) ⇒ (ii):
が有限体の場合は ガロア理論/有限体 を参照のこと。
, が無限体、のときを示せば十分。 とおいて、 となる を探す。 は無限集合であるが、 は仮定より有限集合。したがって となる相異なる が取れる。
であるので、 となり
(ii) ⇒ (i):
として、 を の 上の最小多項式とする。 の中間体 について、 を の 上の最小多項式とする。 の係数 について、 となることを示そう。
として、 を の 上の最小多項式とする。明らかに なので、 は で割り切れる。また、 より、 は で割り切れる。つまり、 であり、 なので
したがって、 の中間体は で決まることがわかったのだが、 は 内で を割り切るので、中間体が有限個であることが示された。