体とは編集

定義 ()

集合   と写像   について、  と書くことにする。このとき、  が(可換)体であるとは、以下の条件を満たすことを言う。

  1. 結合法則 : 任意の   に対して  
  2. 単位元の存在 :   が存在して、任意の   に対して   この 0 という元を加法の単位元という。
  3. 逆元の存在 : 加法の単位元   に対して、任意の   に対して   が存在して  
  4. 交換法則 : 任意の   に対して  
  5. 結合法則 : 任意の   に対して  
  6. 単位元の存在 :   が存在して、任意の   に対して   この 1 という元を加法の単位元という。
  7. 逆元の存在 : 加法の単位元   に対して、任意の   に対して、   が存在して   ただし、  は加法の単位元である。
  8. 交換法則 : 任意の   に対して  
  9. 結合法則 : 任意の   に対して  
  10.  

基本的には「  は体である」というより、演算を省略して「  は体である」ということが多い。

  •   は、自然な加法と乗法について体となる。
  •   は、自然な加法と乗法について体にはならない。乗法の逆元が常に存在するとは限らないからである。
  • 有限体  

命題 1編集

  の加法の単位元、乗法の単位元は共にただ一つ存在する。

証明

体は加法に関して群なので一般論より成り立つ。群論参照。

命題 2編集

  の元   の加法の逆元はただひとつ存在する。  なら、乗法の逆元はただひとつ存在する。

証明

  は加法に関して、またその部分集合   は乗法に関してそれぞれ群を成すので、一般論より成り立つ。 群論参照。

このことから、加法の逆元を  、乗法の逆元   などと書く。

準同型編集

定義

  の間の準同型   とは、以下を満たす写像である。

  • 任意の   に対して  
  • 任意の   に対して  
  •  

簡単に分かる性質として以下を挙げる。

  •   より、 
  •   より  
  •   のとき、  より  

命題 3編集

体の準同型   は単射である。

証明

 のとき、乗法の逆元 が存在し、 なので、 である。 よって、 のとき、 なので、 、すなわち である。 すなわち、fは単射である。 

定義

体の同型写像とは、準同型であり、かつ全単射であることを言う。

体という数学的構造を扱う際、同型な体は同じ構造を持っているとみなすことができる。

命題 4編集

体の同型写像の逆写像はまた準同型写像である。

証明

練習問題。

体の拡大編集

定義

  とその部分集合   について、  の演算    上に制限したときの行き先が必ず   に入り、かつ、その制限写像によって   が体になるとき、   の部分体である、  は体の拡大である、という。

このとき包含写像が準同型になることに注意。

体の準同型   があるとき、  が同型であることから、命題 4 とあわせて、体の準同型があれば同型を除けばそれは体の拡大である、と思うことができる。

  •   は体の拡大である。
  •   は体の拡大。ただし、 

体上の準同型編集

定義

  を体の拡大とする。  が体   上の(準)同型であるとは、体の(準)同型であり、かつ   上では恒等写像であることをいう。

自己同型群編集

定義

  を体の拡大とする。  の自己同型とは、  上の同型写像   のことをいう。自己同型全体の集合   には、写像の合成を積とする群構造が入る。これを自己同型群という。

その他の定義編集

定義

体の拡大   について、  がその中間体であるとは、  が体の拡大になっていることをいう。


命題 5編集

体の拡大   および中間体   について、  は中間体である。

証明

体の演算について閉じていることを機械的に確かめるだけなので、省略。群論参照。


命題 6編集

体の拡大   および集合   について、  を含むような   の中間体のうち、包含順序について最小の中間体が存在する。

証明

   を含むような   の中間体全体の集合として、命題 5 を適用する。

定義

命題 6 で存在が保証される体を   と書く。特に   が有限集合である場合、  とも書く。


命題 7編集

体の拡大   および集合   について、  が存在して  
ただし、   上の   変数有理関数体であり、その元は   係数多項式    と表せるもの全体からなる。

証明

命題の主張にある集合   が体であることを確認する(省略)。そうすると、明らかに   であり、  を含む中間体である。逆に、そのような任意の中間体は   を含む。


命題 8編集

体の拡大   と体   上の準同型   について、  であるならば   である。

証明

命題7 より。詳細は読者に委ねる。