ガロア理論/Galois拡大

定義(ガロア群)

体の拡大 $K/F$ に対して、体 $F$ 上の自己同型群を ${\mathcal {G}}(K/F)=\operatorname {Gal} (K/F)$ と書いて、$K/F$ の ガロア群 という。

定義

体の拡大 $K/F$ と $G(K/F)$ の部分群 $H$ に対して、その不変体を ${\mathcal {F}}(H)=\{\alpha \in K:\forall \sigma \in H(\sigma (\alpha )=\alpha )\}$ とする。不変体は $K/F$ の中間体であることに注意。

命題1

体の代数拡大 $K/F$ に対して以下は同値。

(i) $K/F$ は分離かつ正規拡大である
(ii) ${\mathcal {F}}({\mathcal {G}}(K/F))=F$
(iii) ${\mathcal {G}}(K/F)$ のある部分群 $H$ で $F={\mathcal {F}}(H)$ となるものが存在する
さらに、有限次拡大であれば以下も同値である:
(iv) $|G(K/F)|=[K:F]$

証明

(i) ⇒ (ii):
$F\subseteq {\mathcal {F}}({\mathcal {G}}(K/F))$ は自明。逆の包含を示す。$\alpha \in K-F$ を取り、最小多項式を $f(X)\in F[X]$ とする。$f(X)$ の次数を $d(>1)$ とする。ガロア理論/正規拡大#命題1(iii) によって、$\alpha =\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{d}\in K$ が存在して $f(X)=(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{d})$ となる。分離性によって、$\alpha _{2}\neq \alpha$ である。$F$ 上の体の同型 $\sigma :F(\alpha )\rightarrow F(\alpha _{2}),\alpha \mapsto \alpha _{2}$ を、ガロア理論/代数的閉体#定理2 によって、ある代数閉包 ${\overline {K}}$ の自己同型 $\sigma :{\overline {K}}\rightarrow {\overline {K}}$ に延長する。このとき、ガロア理論/正規拡大#命題1(ii) によって、$\sigma |K\in {\mathcal {G}}(K/F)$ である。$\sigma (\alpha )\neq \alpha$ だから、$\alpha \not \in {\mathcal {F}}({\mathcal {G}}(K/F))$ である。

(ii) ⇒ (iii):
自明。

(iii) ⇒ (i):
$\alpha \in K$ の最小多項式を $f(X)\in F[X]$ とする。$\sigma \in H$ に対し $f(\sigma (\alpha ))=\sigma (f(\alpha ))=0$ だから、$\sigma (\alpha )$ の取りうる値は有限個である。$N=\{\sigma \in H:\sigma (\alpha )=\alpha \}$ は $H$ の正規部分群であり、$h=\sigma N\in H/N$ に対して $h(\alpha )=\sigma (\alpha )$ は、$\sigma$ の取り方によらない。また、この対応は単射だから $H/N$ は有限群であり、行き先は $f(X)$ の根全体の集合である。…(＊)
$g(X)=\prod _{h\in H/N}(X-h(\alpha ))$ は、各 $\sigma \in H$ によって係数が不変である。実際、$\sigma$ は $h(\alpha )$ たちの置換を引き起こすからである。すなわち、係数は ${\mathcal {F}}(H)=F$ に属するから、$g(X)\in F[X]$ であり、(＊)によりこれは $f(X)$ の次数以下である。したがって、$f(X)=g(X)$ である。このことから、$f(X)$ は分離的であり、かつ $K[X]$ で一次の積に分解されることがわかった。つまり、分離かつ正規拡大である。

最後に、$K/F$ が有限次拡大であるとしよう。ガロア理論/分離拡大#命題_1 と ガロア理論/正規拡大#命題1 をあわせると、分離かつ正規拡大であることと、$|{\mathcal {G}}(K/F)|=[K:F]$ が同値であることがただちにしたがう。実際、分離性は、 $|{\rm {Hom}}_{F}(K,{\bar {F}})|\leq [K:F]$ の等号が成立することで、正規性は ${\mathcal {G}}(K/F)\subseteq {\rm {Hom}}_{F}(K,{\bar {F}})$ の等号が成立することを指しているからである。

定義

上の命題の条件を満たす体の拡大を、Galois 拡大という。

例

• $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ は Galois 拡大である。
• $\mathbb {Q(2^{1/3})} /\mathbb {Q}$ は Galois 拡大ではない。なぜなら、$2^{1/3}$ の残り二つの共役元を含まず、正規拡大でないからである。${\mathcal {G}}(\mathbb {Q(2^{1/3})} /\mathbb {Q} )=1$ である。